WBCHSE দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের সম্ভাবনাতত্ত্ব প্রশ্ন উত্তর অধ্যায়ের ৩৫টি MCQ প্রশ্নের সম্পূর্ণ সমাধানসহ উত্তর — শর্তাধীন সম্ভাবনা, বেইজ উপপাদ্য, প্রত্যাশিত মান।
সম্ভাবনাতত্ত্ব প্রশ্ন উত্তর (Probability) সম্পূর্ণ MCQ — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত
উচ্চ মাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণির তৃতীয় সেমিস্টার গণিত পরীক্ষায় সম্ভাবনাতত্ত্ব প্রশ্ন উত্তর (Probability) অধ্যায় থেকে শর্তাধীন সম্ভাবনা (conditional probability), স্বাধীন ঘটনা (independent events), বেইজ উপপাদ্য (Bayes’ theorem) এবং প্রত্যাশিত মান/ভেদমান (mean/variance of random variable) নিয়ে নিয়মিত প্রশ্ন আসে।
নিচে টপিক-ভিত্তিক প্রশ্নব্যাংক থেকে সংগৃহীত ৩৫টি MCQ প্রশ্নের সম্পূর্ণ সমাধানসহ উত্তর ধারাবাহিকভাবে দেওয়া হল — প্রতিটি উত্তর Python/SymPy দিয়ে গণনা করে যাচাই করা হয়েছে।
সম্ভাবনাতত্ত্ব প্রশ্ন উত্তর: এক নজরে
এই সম্ভাবনাতত্ত্ব প্রশ্ন উত্তর অধ্যায়ে মূলত যে দক্ষতাগুলো পরীক্ষা করা হয়:
- শর্তাধীন সম্ভাবনা ও স্বাধীনতা: P(A/B), স্বাধীন ঘটনার শর্ত P(A∩B)=P(A)P(B)।
- বেইজ উপপাদ্য: একাধিক কারণ (E1,E2,…) থেকে একটি নির্দিষ্ট ফলাফলের পশ্চাদমুখী সম্ভাবনা নির্ণয়।
- যাদৃচ্ছিক চলক (Random Variable): প্রত্যাশিত মান (mean/expectation) ও ভেদমান (variance) নির্ণয়।
- সমবায়তত্ত্ব-ভিত্তিক সম্ভাবনা: পাশা, মুদ্রা, বল তোলার ক্লাসিক সমস্যা।
⚠️ সীমাবদ্ধতা: প্রতিটি উত্তর SymPy দিয়ে সাবধানে গণনা করে যাচাই করা হয়েছে। কোনো official/প্রকাশকের answer key ব্যবহার করা হয়নি। একটি প্রশ্নে গণনার ফলাফল প্রদত্ত বিকল্পের সাথে হুবহু না মেলায় আলাদা নোট দেওয়া হয়েছে — চূড়ান্ত প্রকাশের আগে বইয়ের সাথে একবার মিলিয়ে নেওয়া ভালো।
সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্ন উত্তর (প্রশ্ন ১–৩২): সম্ভাবনাতত্ত্ব প্রশ্ন উত্তর
১. A ও B ঘটনা দুটির মধ্যে কমপক্ষে একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা 3/5, যদি ঘটনা দুটির একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা 1/5 হয়, তাহলে P(A̅)+P(B̅) এর মান হবে— (A) 2/5 (B) 4/5 (C) 6/5 (D) 7/5 সমাধান: P(A)+P(B)=P(A∪B)+P(A∩B)=3/5+1/5=4/5; P(A̅)+P(B̅)=2-4/5=6/5।
২. A and B দুটি স্বাধীন ঘটনা এমন যে P(A)=1/2, P(B)=1/3, তাহলে P(Aᶜ∩Bᶜ) এর মান হবে— (A) 2/3 (B) 1/6 (C) 5/6 (D) 1/3 সমাধান: স্বাধীনতার জন্য P(Aᶜ∩Bᶜ)=P(Aᶜ)P(Bᶜ)=(1/2)(2/3)=1/3।
৩. P(A)=P(A/B)=1/4, P(B/A)=1/2 হলে বিবৃতি I: A ও B ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন বিবৃতি II: P(Aᶜ/B)=3/4 (A) বিবৃতি I ও II সত্য (B) উভয় বিবৃতি মিথ্যা (C) বিবৃতি I সত্য, বিবৃতি II মিথ্যা (D) বিবৃতি I মিথ্যা, বিবৃতি II সত্য সমাধান: P(A/B)=P(A) মানেই A,B স্বাধীন (বিবৃতি I সত্য); P(Aᶜ/B)=1-P(A/B)=3/4 (বিবৃতি II সত্য)।
৪. P(E₁)=4/5, P(E₂)=1/5, P(A/E₁)=1/8, P(A/E₂)=1/5 হলে P(E₂/A) এর মান হবে— সমাধান: বেইজ উপপাদ্য প্রয়োগে P(A)=P(E₁)P(A/E₁)+P(E₂)P(A/E₂)=(4/5)(1/8)+(1/5)(1/5)=7/50; P(E₂/A)=(1/25)/(7/50)=2/7। ⚠️ সম্ভাবনাতত্ত্ব প্রশ্ন উত্তর বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া আবশ্যক — গণনায় প্রাপ্ত 2/7 প্রদত্ত বিকল্পের (1/7, 3/7, 4/7, 5/7) কোনোটির সাথেই মেলেনি।
৫. P(A)=3/8, P(B)=1/2, P(A∩B)=1/4, তবে P(Aᶜ/Bᶜ) এর মান হবে: (A) 1/4 (B) 1/8 (C) 3/4 (D) 3/8 সমাধান: P(A∪B)=3/8+1/2-1/4=5/8; P(Aᶜ∩Bᶜ)=1-5/8=3/8; P(Aᶜ/Bᶜ)=(3/8)/(1/2)=3/4।
৬. P(A)=a, P(B)=b হলে: বিবৃতি I: P(A/B)≤a/b বিবৃতি II: P(A/B)≥a/b (A) বিবৃতি I সত্য (B) বিবৃতি II সত্য (C) উভয় বিবৃতি সত্য (D) উভয় বিবৃতি মিথ্যা সমাধান: P(A∩B)≤P(A)=a সবসময় সত্য, তাই P(A/B)=P(A∩B)/b≤a/b।
৭. Var(2x+3y+5) এর মান হবে: (A) 4Var(x)+9Var(y) (B) 2Var(x)+3Var(y) (C) 4Var(x)+9Var(y)+5 (D) 2Var(x)+3Var(y)+5 সমাধান: Var(aX+bY+c)=a²Var(X)+b²Var(Y) (স্বাধীন ধরে); ধ্রুবক যোগে ভেদমান পরিবর্তন হয় না।
৮. X একটি সমসম্ভব চলক, X এর সম্ভাবনা বিভাজনটি হল: X=0,1,2,3,4; P(X)=0,K,2K,6K,10K², তবে P(0<X<3)=? (A) 3/10 (B) 2/5 (C) 2/3 (D) 1/10 সমাধান: সমষ্টি=1 থেকে 10K²+9K-1=0 সমাধান করে K=1/10; P(0<X<3)=P(1)+P(2)=K+2K=3K=3/10।
৯. প্রদত্ত সম্ভাবনা বিভাজন X=1,2,3; P(X)=1/2,1/3,1/6 থেকে মধ্যক ও ভেদমান হবে (A) 5/3,2/3 (B) 5/3,5/9 (C) 5/4,4/3 (D) 5/3,1/9 সমাধান: মধ্যক=ΣxP(x)=5/3; E(X²)=10/3; ভেদমান=10/3-(5/3)²=5/9।
১০. P(A)=0.3, P(B)=0.5 এবং P(A∪B)=0.7, হলে P(A/B)=? (A) 0.5 (B) 0.4 (C) 0.3 (D) 0.2 সমাধান: P(A∩B)=0.3+0.5-0.7=0.1; P(A/B)=0.1/0.5=0.2।
আরো দেখো: সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
১১. P(A/B̄)×[1-P(B)]/[1-P(B/A)] এর মান (A) P(A) (B) P(B) (C) P(A∩B) (D) P(Aᶜ∩Bᶜ) সমাধান: P(A/B̄)P(B̄)=P(A∩B̄) এবং 1-P(B/A)=P(B̄/A)=P(A∩B̄)/P(A); অনুপাত নিলে সরাসরি P(A) পাওয়া যায়।
১২. A,B,C তিনটি পরস্পর পৃথক এবং সম্পূর্ণ ঘটনা এবং 3P(A)=2P(B)=4P(C) তবে P(A) এর মান হবে: (A) 4/13 (B) 9/13 (C) 5/13 (D) 8/13 সমাধান: 3P(A)=2P(B)=4P(C)=k ধরে সমষ্টি=1 থেকে k=12/13; P(A)=k/3=4/13।
১৩. Var(5-4x) এর মান— (A) 4σx (B) 16σx (C) 16σx² (D) σx সমাধান: Var(aX+b)=a²Var(X)=16σx²।
১৪. সম্ভাবনা বিভাজন থেকে K এর মান নির্ণয় করো (X=-2,-1,0,1,2,3; P(X)=0.1,K,0.2,2K,0.3,K) (A) 0.5 (B) 0.2 (C) 0.1 (D) 0.4 সমাধান: সমষ্টি=1 থেকে 0.6+4K=1 → K=0.1।
১৫. একটি ছক্কার তিনটি তলে 1, দুটি তলে 3 এবং অবশিষ্ট তলটিতে 6 লেখা আছে। ছক্কাটিকে একবার নিক্ষেপ করলে লেখা সংখ্যাগুলির সম্ভাবনা নিরূপণের গড় (Mean) হবে— (A) 5/2 (B) 3/2 (C) 1/2 (D) 1/4 সমাধান: P(1)=1/2,P(3)=1/3,P(6)=1/6; মধ্যক=1(1/2)+3(1/3)+6(1/6)=5/2।
১৬. তিনটি বাক্স আছে (Box-I: R→6,B→4; Box-II: R→4,B→6; Box-III: R→5,B→5)। একটি বাক্স নির্বাচন করে ওর থেকে একটি বল তোলা হল। যদি বলটি লাল রঙের হয়, তবে প্রথম বাক্স থেকে তোলার সম্ভাবনা হল— (A) 2/5 (B) 3/5 (C) 4/5 (D) 1/5 সমাধান: বেইজ উপপাদ্য প্রয়োগে P(Box-I/Red)=(1/3)(3/5)/[(1/3)(3/5+2/5+1/2)]=2/5।
১৭. যদি x̄=10 এবং Var(x)=25, ȳ=4 এবং Var(y)=1, y=ax+b (a>0,b>0), হলে (a,b) এর মান হবে (A) (1/4,3) (B) (2,1/5) (C) (3,1/4) (D) (1/5,2) সমাধান: Var(y)=a²Var(x) থেকে a=1/5; ȳ=ax̄+b থেকে b=4-2=2।
১৮. A 10 বার কথা বলে 8 বার সত্য কথা বলে। একটি ছক্কা ছোঁড়া হয় এবং সে বলে 5 পড়েছে। ছক্কায় সত্যিই 5 পড়েছিল তার সম্ভাবনা কত? (A) 2/9 (B) 4/9 (C) 5/9 (D) 3/8 সমাধান: বেইজ উপপাদ্যে P(সত্যিই5/বলে5)=(4/5·1/6)/[(4/5·1/6)+(1/5·5/6)]=4/9।
১৯. A 5টির মধ্যে 4টি, B 4টির মধ্যে 3টি এবং C 3টির মধ্যে 2টি ক্ষেত্রে লক্ষ্যবস্তু আঘাত করতে পারে। তারা একই সঙ্গে গুলি ছোঁড়ে, কমপক্ষে দুটি গুলি আঘাত করার সম্ভাবনা হল— (A) 1/6 (B) 4/5 (C) 5/6 (D) 2/3 সমাধান: P(ঠিক 2)+P(3সবক’টা)=13/30+2/5=5/6।
আরো দেখো: বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
২০. তিনজন গণিতের ছাত্রের একটি অঙ্কের সমাধান করার সম্ভাবনা যথাক্রমে 1/3, 2/7, এবং 3/8; তারা প্রত্যেকে স্বাধীনভাবে সমাধানের চেষ্টা করে, ঠিক একজনের অঙ্কটির সমাধানের সম্ভাবনা হলো— (A) 25/56 (B) 21/47 (C) 25/47 (D) 1/28 সমাধান: P(ঠিক একজন)=p₁q₂q₃+q₁p₂q₃+q₁q₂p₃=25/56 (সরাসরি গণনা)।
২১. A পাত্রে 1টি সাদা, 2টি কালো, 3টি লাল বল; B পাত্রে 2টি সাদা, 1টি কালো, 1টি লাল; C পাত্রে 4টি সাদা, 5টি কালো, 3টি লাল বল আছে। যদৃচ্ছভাবে একটি পাত্র নির্বাচন করে 2টি বল তোলা হয়। যদি তোলা বল 2টির একটি সাদা এবং একটি লাল হয়, বল দুটি A পাত্র থেকে নেওয়া হয়েছিল তার সম্ভাবনা— (A) 33/118 (B) 31/33 (C) 3/11 (D) 7/33 সমাধান: বেইজ উপপাদ্য প্রয়োগে (প্রতিটি পাত্রে white×red-এর combination হিসাব করে) P(A/WR)=33/118।
২২. যদি কোনো সম্ভাবনা নিরূপণে E(X)=6/5 এবং E(X²)=2 হলে Var(X) এর মান হবে (A) 7/5 (B) 14/25 (C) 7/25 (D) 1 সমাধান: Var(X)=E(X²)-[E(X)]²=2-36/25=14/25।
২৩. তিনটি বাক্সে সাদা(W), লাল(R) বলের তালিকা: Box-I(3W,2R), Box-II(7W,3R), Box-III(5W,3R)। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বাক্স নির্বাচন করে তা থেকে একটি বল তোলা হল। তোলা বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা হল— (A) 77/120 (B) 1/45 (C) 15/23 (D) 5/23 সমাধান: P(সাদা)=(1/3)(3/5+7/10+5/8)=77/120।
২৪. S={0,1,2,…,10}, দুটি অখণ্ড সংখ্যা x,y এমনভাবে S সেট থেকে নির্বাচন করা হল পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় মাধ্যমে, তবে P(|x-y|>5) এর মান হবে— (A) 30/121 (B) 15/121 (C) 5/11 (D) 5/121 সমাধান: 11×11=121টি মোট জোড়ার মধ্যে 30টি জোড়া |x-y|>5 শর্ত সিদ্ধ করে।
২৫. কোনো কলেজে ছাত্রীদের মধ্যে পদার্থবিদ্যায় অকৃতকার্য হয় 30%, গণিতে অকৃতকার্য হয় 25%, 10% উভয়বিষয় অকৃতকার্য হয়। কোনো এক ছাত্রীকে নেওয়া হলে ছাত্রীটির পদার্থবিদ্যায় অকৃতকার্য হবার সম্ভাবনা যখন সে গণিতে অকৃতকার্য হয়। (A) 2/5 (B) 7/5 (C) 11/5 (D) কোনোটিই নয় সমাধান: P(পদার্থ/গণিত)=0.10/0.25=2/5।
২৬. তিনটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করলে একটি টেল পড়লে, তিনটিতেই টেল পড়ার সম্ভাবনা (A) 1/8 (B) 1/6 (C) 1/7 (D) কোনোটিই নয় সমাধান: P(কমপক্ষে 1 টেল)=7/8; P(সব টেল)=1/8; শর্তাধীন সম্ভাবনা=(1/8)/(7/8)=1/7।
২৭. A এবং B ক্রমান্বয়ে একজোড়া পাশা নিক্ষেপ করে যতক্ষণ না মোট 10 পড়ে। যদি A শুরু করে, তবে তাদের ক্রমান্বয়ে খেলা জেতার সম্ভাবনা (A) 12/23, 11/23 (B) 11/23, 12/23 (C) (a) এবং (b) উভয়ই সত্য (D) কোনোটিই নয় সমাধান: p=P(যোগফল10)=1/12; P(A জিতবে)=p/(1-q²)=12/23; P(B জিতবে)=11/23।
২৮. তিনটি পাত্রে যথাক্রমে 3টি সাদা,2টি কালো; 2টি সাদা,3টি কালো; এবং 4টি সাদা,1টি কালো বল আছে। যেকোনো একটি পাত্র থেকে একটি বল তোলা হল। বলটি সাদা হবার সম্ভাবনা হল— (A) 2/5 (B) 3/5 (C) 4/5 (D) কোনোটিই নয় সমাধান: P(সাদা)=(1/3)(3/5+2/5+4/5)=3/5।
আরো দেখো: ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর (Matrices and Determinants) MCQ প্রশ্ন— HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত
২৯. 7টি ভালো বাল্বের সঙ্গে 3টি খারাপ বাল্ব মেশানো হল, ঐ মিশ্রণ থেকে 3টি বাল্ব তোলা হয় এবং যার মধ্যে x টি খারাপ বাল্ব। x-এর গড় মান ও ভেদমান যথাক্রমে— (A) 9/10, 49/100 (B) 9/10, 9/100 (C) 49/10, 9/10 (D) কোনোটিই নয় সমাধান: হাইপারজিওমেট্রিক বিভাজনের সূত্র প্রয়োগে মধ্যক=nK/N=9/10, ভেদমান=49/100।
৩০. E এবং F দুটি পরস্পর নিরপেক্ষ (independent) ঘটনা। যদি P(E)=0.3, P(E∪F)=0.5 হলে P(E/F)-P(E/F̄) এর মান- (A) -1/70 (B) -1/50 (C) -2/75 (D) কোনোটিই নয় সমাধান: E,F স্বাধীন হলে সংজ্ঞানুসারে P(E/F)=P(E/F̄)=P(E) সবসময়, তাই এই বিয়োগফল সর্বদা 0 হবে (P(E∪F)-এর মান নির্বিশেষে) — যা প্রদত্ত কোনো অ-শূন্য বিকল্পের সাথে মেলে না।
৩১. একটি প্যাকেটে 6টি লাল, 5টি নীল এবং 7টি সাদা বল আছে। একের পর এক করে তিনটি বল তোলা হয় (কোনো বল পুনরায় প্যাকেটে প্রতিস্থাপন না করে), প্রতিটি বল নীল হবার সম্ভাবনা হল— (A) 5/408 (B) 7/408 (C) 1/450 (D) কোনোটিই নয় সমাধান: (5/18)(4/17)(3/16)=5/408।
৩২. 8টি মুদ্রাকে একসঙ্গে নিক্ষেপ করা হলে কমপক্ষে 6টি হেড পড়ার সম্ভাবনা (A) 37/256 (B) 25/256 (C) 11/256 (D) None of these সমাধান: দ্বিপদী বিভাজনে P(X≥6)=[C(8,6)+C(8,7)+C(8,8)]/2⁸=37/256।
অ্যাসারশন-রিজন (বিবৃতি-১ ও বিবৃতি-২) ভিত্তিক MCQ (প্রশ্ন ৩৩–৩৫)
নির্দেশিকা: a) বিবৃতি-1 সত্য, বিবৃতি-2 সত্য এবং বিবৃতি-2, বিবৃতি-1-এর সঠিক ব্যাখ্যা। b) বিবৃতি-1 সত্য, বিবৃতি-2 সত্য এবং বিবৃতি-2, বিবৃতি-1-এর সঠিক ব্যাখ্যা নয়। c) বিবৃতি-1 সত্য, বিবৃতি-2 মিথ্যা d) বিবৃতি-1 মিথ্যা, বিবৃতি-2 সত্য
৩৩. কোনো একটি পরীক্ষায় E₁ এবং E₂ যেকোনো দুটি ঘটনা হলে। বিবৃতি-1: P(E₁)+P(E₂)=P(E₁∪E₂)+P(E₁∩E₂)। বিবৃতি-2: P(E₁∪E₂)=P(E₁)+P(E₂) (যদি E₁,E₂ পরস্পর পৃথক হয়)। উত্তর: (b) — বিবৃতি-1 একটি সাধারণ (সবসময় সত্য) অভেদ, যেকোনো দুটি ঘটনার জন্যই প্রযোজ্য; বিবৃতি-2 শুধুমাত্র পরস্পর পৃথক (mutually exclusive) ঘটনার জন্য প্রযোজ্য একটি বিশেষ ক্ষেত্র — তাই এটি বিবৃতি-1-এর (সাধারণ ক্ষেত্রের) সঠিক ব্যাখ্যা নয়, যদিও উভয়ই পৃথকভাবে সত্য।
৩৪. বিবৃতি-1: একটি পাশাকে (dice) একবার নিক্ষেপ করার ক্ষেত্রে। E₁=”3 এর গুণিতকের ঘটনা”, E₂=”জোড় সংখ্যা পড়ার ঘটনা” হলে E₁ এবং E₂ পরস্পর নিরপেক্ষ। বিবৃতি-2: পরস্পর নিরপেক্ষ ঘটনার ক্ষেত্রে P(E₁∩E₂)=P(E₁)×P(E₂)। উত্তর: (a) — P(E₁)=1/3, P(E₂)=1/2, P(E₁∩E₂)=P({6})=1/6=P(E₁)×P(E₂), তাই সত্যিই স্বাধীন (বিবৃতি-1 সত্য); বিবৃতি-2 এই যাচাইয়ের সঠিক ভিত্তি ও ব্যাখ্যা।
আরো দেখো: কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর (Calculus) MCQ — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (সন্ততা, অন্তরকলন, প্রয়োগ)
৩৫. একজন 45 বছর বয়সী পুরুষের 70 বছর পর্যন্ত বেঁচে থাকার বিপক্ষে সম্ভাবনা 7:5 এবং তাঁর স্ত্রীর বর্তমান বয়স 36, তাঁর 61 বছর পর্যন্ত বেঁচে থাকার বিপক্ষে সম্ভাবনা 5:3। বিবৃতি-1: 25 বছর পরে ঐ দম্পতি দুজনেই বেঁচে থাকবে = 5/32। বিবৃতি-2: 25 বছর পরে তাদের মধ্যে অন্তত একজন বেঁচে থাকবে = 61/96।
উত্তর: (b) — বিপক্ষে সম্ভাবনা থেকে P(স্বামী বাঁচবে)=5/12, P(স্ত্রী বাঁচবে)=3/8; P(দুজনেই)=5/12×3/8=5/32 (বিবৃতি-1 সত্য, যাচাই করা হয়েছে); P(কমপক্ষে একজন)=1-(7/12)(5/8)=61/96 (বিবৃতি-2ও সত্য, যাচাই করা হয়েছে) — কিন্তু দুটি ভিন্ন, স্বতন্ত্র গণনা, একটি অন্যটির ব্যাখ্যা নয়।
WBCHSE গণিত সাজেশন, দ্বাদশ শ্রেণি গণিত MCQ: পরীক্ষার জন্য জরুরি টিপস
- শর্তাধীন সম্ভাবনা P(A/B) মানে “B ঘটেছে জেনে A ঘটার সম্ভাবনা” — সবসময় P(A∩B)/P(B) সূত্র মনে রেখো, এবং স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে P(A/B)=P(A) হয় (কন্ডিশনিং কোনো প্রভাব ফেলে না)।
- বেইজ উপপাদ্যের প্রশ্নে প্রথমে সব “কারণ” (E₁,E₂,…)-এর জন্য P(ফলাফল/কারণ) আলাদাভাবে লিখে P(ফলাফল)-এর সম্পূর্ণ সমষ্টি বের করো, তারপর নির্দিষ্ট কারণের জন্য ভাগ করো।
- প্রত্যাশিত মান ও ভেদমান নির্ণয়ে Var(X)=E(X²)-[E(X)]² সূত্রটি সবচেয়ে দ্রুত পদ্ধতি — সরাসরি ΣP(x)(x-মধ্যক)² গণনার চেয়ে এটি সহজ।
Class 12 Semester 3 Math, Bayes Theorem
সম্ভাবনাতত্ত্ব অধ্যায়ের এই ৩৫টি MCQ প্রশ্ন উত্তর ভালোভাবে অনুশীলন করলে HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত পরীক্ষায় শর্তাধীন সম্ভাবনা, বেইজ উপপাদ্য এবং যাদৃচ্ছিক চলক সংক্রান্ত যেকোনো প্রশ্নের জন্য দৃঢ় প্রস্তুতি নেওয়া সম্ভব। এই দিয়ে গণিতের তৃতীয় সেমিস্টারের পাঁচটি অধ্যায়ের সম্পূর্ণ প্রশ্নব্যাংক শেষ হল।
এখানে আলোচনা করা হয়েছে সম্ভাবনাতত্ত্ব (Probability) MCQ প্রশ্ন উত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত WBCHSE দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের “সম্ভাবনাতত্ত্ব” অধ্যায়ের ৩৫টি MCQ প্রশ্নের সম্পূর্ণ সমাধানসহ উত্তর — শর্তাধীন সম্ভাবনা, বেইজ উপপাদ্য, প্রত্যাশিত মান।
সম্ভাবনাতত্ত্ব প্রশ্ন উত্তর, সম্ভাবনাতত্ত্ব, Probability, HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত, WBCHSE গণিত সাজেশন, দ্বাদশ শ্রেণি গণিত MCQ, Class 12 Semester 3 Math, Bayes Theorem সব কিছু এই পোস্টে আলোচনা করা হল।
- সম্ভাবনাতত্ত্ব প্রশ্ন উত্তর (Probability) MCQ — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত
WBCHSE দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের সম্ভাবনাতত্ত্ব প্রশ্ন উত্তর অধ্যায়ের ৩৫টি MCQ প্রশ্নের সম্পূর্ণ সমাধানসহ উত্তর — শর্তাধীন সম্ভাবনা, বেইজ উপপাদ্য, প্রত্যাশিত মান। সম্ভাবনাতত্ত্ব প্রশ্ন উত্তর (Probability) সম্পূর্ণ MCQ — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত উচ্চ মাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণির তৃতীয় সেমিস্টার গণিত পরীক্ষায় সম্ভাবনাতত্ত্ব প্রশ্ন উত্তর (Probability) অধ্যায় থেকে শর্তাধীন সম্ভাবনা (conditional probability), স্বাধীন ঘটনা (independent … - কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর (Calculus) MCQ — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (সন্ততা, অন্তরকলন, প্রয়োগ)
WBCHSE দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর অধ্যায়ের ৯০টি MCQ প্রশ্নের সম্পূর্ণ সমাধানসহ উত্তর — সন্ততা, অন্তরকলনযোগ্যতা, অন্তরকলন কৌশল ও প্রয়োগ কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর (Calculus) সম্পূর্ণ MCQ — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত উচ্চ মাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণির তৃতীয় সেমিস্টার গণিত পরীক্ষায় কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর (Calculus) সবচেয়ে বড় ও গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায় — সন্ততা (continuity), অন্তরকলনযোগ্যতা … - ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর (Matrices and Determinants) MCQ প্রশ্ন— HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত
WBCHSE দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর, এই অধ্যায়ের ৬৮টি MCQ প্রশ্নের সম্পূর্ণ সমাধানসহ উত্তর। ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর (Matrices and Determinants) সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্ন উত্তর উচ্চ মাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণির তৃতীয় সেমিস্টার গণিত পরীক্ষায় ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক (Matrices and Determinants) অধ্যায় থেকে ম্যাট্রিক্সের ধর্ম, নির্ণায়কের বৈশিষ্ট্য, প্রতিসম/বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স এবং রৈখিক … - বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ ও অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্নোত্তর, ব্যাখ্যাসহ। WBCHSE সিলেবাস অনুযায়ী প্র্যাকটিসের জন্য আদর্শ। বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ (Inverse Trigonometric Functions) প্রশ্নোত্তর — উচ্চমাধ্যমিক তৃতীয় সেমিস্টার গণিত উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের দ্বিতীয় ইউনিট বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক (Inverse Trigonometric Functions) — এখানে সবচেয়ে বেশি ভুল হয় যোগ-বিয়োগের সূত্রে … - সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ ও অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্নোত্তর, ব্যাখ্যাসহ। WBCHSE সিলেবাস অনুযায়ী প্র্যাকটিসের জন্য আদর্শ। সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ (Relations and Functions) প্রশ্নোত্তর — উচ্চমাধ্যমিক তৃতীয় সেমিস্টার গণিত উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের সিলেবাসে সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ (Relations and Functions) অধ্যায়টা প্রথম ইউনিট হলেও এখানেই সবচেয়ে বেশি ছাত্রছাত্রী … - তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ – HS 3rd Semester Physics MCQ প্রশ্নোত্তর
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার “তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ” অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তরসহ। লেঞ্জের সূত্র, আবেশাঙ্ক, ট্রান্সফরমার, AC বর্তনী সংক্রান্ত সব প্রশ্ন এখানে। তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ: HS 3rd Semester Physics প্রশ্নোত্তর তৃতীয় সেমিস্টারের পঞ্চম ও শেষ মূল ইউনিট তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ — এখানে লেঞ্জের সূত্র, স্ব-আবেশ, পারস্পরিক …