উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ ও অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্নোত্তর, ব্যাখ্যাসহ। WBCHSE সিলেবাস অনুযায়ী প্র্যাকটিসের জন্য আদর্শ।
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ (Inverse Trigonometric Functions) প্রশ্নোত্তর — উচ্চমাধ্যমিক তৃতীয় সেমিস্টার গণিত
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের দ্বিতীয় ইউনিট বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক (Inverse Trigonometric Functions) — এখানে সবচেয়ে বেশি ভুল হয় যোগ-বিয়োগের সূত্রে “+π” বা “-π” কখন বসবে তা নিয়ে। এই পোস্টে WBCHSE-এর তৃতীয় সেমিস্টার প্যাটার্ন অনুযায়ী এই অধ্যায়ের সম্পূর্ণ MCQ ও অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্নোত্তর দেওয়া হলো, প্রতিটার সংক্ষিপ্ত সমাধানসহ।
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ: এক নজরে
এই অধ্যায়ের মূল অংশ তিনটে জায়গায় ভাগ করা যায় — মৌলিক মান নির্ণয় (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ ইত্যাদির সরাসরি মান বার করা), যোগ-বিয়োগের সূত্র (tan⁻¹x+tan⁻¹y ধরনের সমষ্টি) এবং তিনটে চলকের ওপর ভিত্তি করে স্ট্যান্ডার্ড আইডেন্টিটি (যেমন cos⁻¹x+cos⁻¹y+cos⁻¹z=π হলে কী দাঁড়ায়)। নিচে মোট ৫৯টা MCQ এবং ৬টা অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্ন রয়েছে।
কেন tan⁻¹x+tan⁻¹y-এর সূত্রে “+π” যোগ করতে হয় — আর কখন করতে হয় না?
এই অধ্যায়ের সবচেয়ে বেশি ভুল হওয়া জায়গা হলো tan⁻¹x+tan⁻¹y = tan⁻¹[(x+y)/(1-xy)] সূত্রটা যান্ত্রিকভাবে বসিয়ে দেওয়া, xy-এর মান না দেখেই। আসল কথা হলো — এই সূত্রটা তৈরি হয়েছে tan(A+B) থেকে, আর tan⁻¹ ফাংশনের নিজস্ব রেঞ্জ (-π/2, π/2), যেখানে A+B আসলে সেই রেঞ্জের বাইরেও চলে যেতে পারে।
সহজ নিয়ম: বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ
- যদি x>0, y>0 এবং xy<1 হয় — তাহলে A+B এখনও (-π/2,π/2)-এর মধ্যেই থাকে, সরাসরি সূত্র বসানো যায়।
- যদি x>0, y>0 এবং xy>1 হয় — তাহলে A+B আসলে (π/2,π)-এর মধ্যে চলে যায়, তাই সূত্রে +π বসাতে হয়: tan⁻¹x+tan⁻¹y = π+tan⁻¹[(x+y)/(1-xy)]।
- যদি x<0, y<0 এবং xy>1 হয় — তাহলে সূত্রে -π বসাতে হয়।
📩Download Math Model Question 3rd Sem📩
এই প্রশ্নব্যাংকের ২১, ৩২, ৩৩ নং প্রশ্নে ঠিক এই কারণেই সরাসরি সূত্র বসালে ভুল উত্তর আসবে — আগে xy-এর মান পরীক্ষা করে নিতে হবে, তারপর সূত্র প্রয়োগ করতে হবে।
সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্ন উত্তর (১–৫৯): বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ
১. Sec²(tan⁻¹3)+cosec²(cot⁻¹5)-এর মান — উত্তর: (D) 36। (sec²=1+tan²=1+9=10; cosec²=1+cot²=1+25=26; যোগফল=36।)
২. sin⁻¹x-cos⁻¹x=π/6 হয় তবে x = — উত্তর: (B) √3/2। (sin⁻¹x+cos⁻¹x=π/2 যোগ করলে 2sin⁻¹x=2π/3, sin⁻¹x=π/3।)
৩. Sin⁻¹[cos(33π/5)]-এর মান — উত্তর: (C) -π/10। (33π/5 কে 2π দিয়ে কমিয়ে 3π/5 পাওয়া যায়; cos(3π/5)=sin(-π/10)।)
৪. 2tan⁻¹[(1+x)/(1-x)]+sin⁻¹[(1-x²)/(1+x²)]-এর মান — উত্তর: (C) π। (x=tanθ ধরলে প্রথম অংশ π/2+2θ, দ্বিতীয় অংশ π/2-2θ, যোগফল π।)
৫. x+y=1, xy=2 হলে tan⁻¹x+tan⁻¹y-এর মান — উত্তর: (B) 3π/4। ⚠️ যাচাই করে নিন — এখানে x+y=1, xy=2 থেকে x,y প্রকৃতপক্ষে জটিল সংখ্যা (discriminant ঋণাত্মক), তাই এটা শুধু সূত্র-প্রয়োগের অনুশীলন হিসেবেই ধরা হয়েছে: (x+y)/(1-xy)=1/(-1)=-1, এবং xy>1 বলে +π যোগ করে π+tan⁻¹(-1)=π-π/4=3π/4।
৬. tan⁻¹(x/y)-tan⁻¹[(x-y)/(x+y)]-এর মান — উত্তর: (D) π/4।
৭. tan⁻¹[2cos(2sin⁻¹(1/2))]-এর মান — উত্তর: (C) π/4। (sin⁻¹(1/2)=π/6; cos(π/3)=1/2; tan⁻¹1=π/4।)
৮. tan⁻¹√(x²+x)+sin⁻¹√(x²+x+1)=π/2 হলে x-এর মান — উত্তর: (A) 0, -1।
৯. (1/2)cos⁻¹[(1-x)/(1+x)], x∈(0,1)-এর মান — উত্তর: (D) tan⁻¹√x।
১০. cos⁻¹(cos5)-এর মুখ্য মান — উত্তর: (C) 2π-5। (5 রেডিয়ান (π,2π)-এর মধ্যে থাকায় cos⁻¹(cosθ)=2π-θ প্রযোজ্য।)
১১. Σ_{r=0}^∞ tan⁻¹[1/(1+r+r²)]-এর মান — উত্তর: (A) π/2। (টেলিস্কোপিং সিরিজ: tan⁻¹(r+1)-tan⁻¹r, যোগফল π/2-0।)
১২. sin⁻¹(x²-x³/2+x⁴/4-…)+cos⁻¹(x²-x⁴/2+x⁶/4-…)=π/2, 0<|x|<√2 হলে x-এর মান — উত্তর: (B) 1। (উভয় সিরিজ সমান হতে হবে, যা থেকে x²=x পাওয়া যায়, অর্থাৎ x=0 বা x=1; পরিসীমা অনুযায়ী x=1।)
১৩. -2π/5-এর মুখ্য মান হবে — উত্তর: (B) sin⁻¹(sin 7π/5)। (sin(7π/5)=-sin(2π/5), আর sin⁻¹ রেঞ্জে ফিরিয়ে আনলে -2π/5 পাওয়া যায়।)
১৪. cos⁻¹x>sin⁻¹x হয় তবে সঠিক বিকল্পটি হবে — উত্তর: (D) -1≤x<1/√2। (cos⁻¹x=π/2-sin⁻¹x বসিয়ে sin⁻¹x<π/4, অর্থাৎ x<1/√2।)
১৫. সঠিক বিকল্পটি হবে (গ্রাফ অনুযায়ী) — উত্তর: (C) |y|=sinx। ⚠️ যাচাই করে নিন — এই প্রশ্নটা মূল বইয়ের গ্রাফ চিত্রের উপর নির্ভরশীল, যা স্ক্যানে পুরোপুরি স্পষ্ট নয়। গ্রাফে দেখানো দুই-শাখার প্রতিসম বক্ররেখার প্যাটার্ন অনুযায়ী |y|=sinx সবচেয়ে সম্ভাব্য উত্তর মনে হলেও বইয়ের সাথে সরাসরি মিলিয়ে নেওয়া জরুরি।
১৬. Σ_{r=1}^∞ tan⁻¹[1/(2r²)]=p হলে sin p-এর মান — উত্তর: (D) 1/√2। (টেলিস্কোপিং সিরিজে p=π/4।)
১৭. Σ_{i=1}^{10} sin⁻¹(xᵢ)=5π হলে Σxᵢ-এর মান — উত্তর: (A) 10। (sin⁻¹-এর সর্বোচ্চ মান π/2; 10×π/2=5π, তাই প্রতিটা xᵢ=1।)
১৮. 2tan⁻¹x-এর মান -π-sin⁻¹(2x/(1+x²)) হবে যদি — উত্তর: (D) x<-1।
১৯. sin[(1/2)cos⁻¹(4/5)]-এর মান — উত্তর: (b) 1/√10।
২০. sin⁻¹(4/5)+sin⁻¹(5/13)+sin⁻¹(16/65)-এর মান — উত্তর: (b) π/2।
২১. tan⁻¹2+tan⁻¹3-এর মান — উত্তর: (b) 3π/4। (2×3=6>1 বলে +π যোগ করতে হবে: π+tan⁻¹(-1)=3π/4।)
২২. নিচের কোন সম্পর্কটি সত্য: tan⁻¹1+tan⁻¹2+tan⁻¹3 ___ 2(tan⁻¹1+tan⁻¹(1/2)+tan⁻¹(1/3)) — উত্তর: (c) =। (উভয় পক্ষই π-এর সমান হয়।)
২৩. tan[(1/2)sin⁻¹(2a/(1+a²))+(1/2)cos⁻¹((1-a²)/(1+a²))]-এর মান — উত্তর: (c) 2a/(1-a²)।
২৪. cot⁻¹[(ab+1)/(a-b)]+cot⁻¹[(bc+1)/(b-c)]+cot⁻¹[(ca+1)/(c-a)]-এর মান — উত্তর: (a) 0।
২৫. cos⁻¹x+cos⁻¹y+cos⁻¹z=π হলে x²+y²+z²+2xyz-এর মান — উত্তর: (a) 1। (এটি একটি প্রতিষ্ঠিত আইডেন্টিটি।)
২৬. sin⁻¹x+sin⁻¹y+sin⁻¹z=π হলে x√(1-x²)+y√(1-y²)+z√(1-z²)-এর মান — উত্তর: (b) 2xyz।
২৭. tan⁻¹x+tan⁻¹y+tan⁻¹z=π হলে x+y+z-এর মান — উত্তর: (a) xyz।
২৮. cos⁻¹(p/a)+cos⁻¹(q/b)=α হলে p²/a²-2pq cosα/(ab)+q²/b²-এর মান — উত্তর: (b) sin²α।
২৯. tan⁻¹[(x-1)/(x-2)]+tan⁻¹[(x+1)/(x-1)]=π/4-এর সমাধান — উত্তর: (b) x=±1/√2। ⚠️ যাচাই করে নিন — স্ক্যানে ভগ্নাংশের হর/লব একটু অস্পষ্ট ছিল; এখানে দ্বিতীয় ভগ্নাংশ (x+1)/(x+2) ধরে সমাধান করলে পরিষ্কারভাবে x=±1/√2 পাওয়া যায় যা বিকল্পের সাথে মেলে — মূল বইয়ের সাথে ভগ্নাংশটা একবার মিলিয়ে নিন।
৩০. tan⁻¹{√(1+x²)-√(1-x²)}/{√(1+x²)+√(1-x²)}=α-এর সমাধান — উত্তর: (a) √(sin2α)।
আরো দেখো: সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
WBCHSE, তৃতীয় সেমিস্টার, Class 12 Mathematics
৩১. tan⁻¹(√3)-sec⁻¹(-2)-এর মান — উত্তর: (b) -π/3। (tan⁻¹√3=π/3; sec⁻¹(-2)=2π/3; বিয়োগফল -π/3।)
৩২. tan⁻¹(1/3)+tan⁻¹(1/5)+tan⁻¹(1/7)+tan⁻¹(1/8)-এর মান — উত্তর: (c) π/4।
৩৩. cot⁻¹7+cot⁻¹8+cot⁻¹18-এর মান — উত্তর: (a) cot⁻¹3। (tan⁻¹(1/7)+tan⁻¹(1/8)+tan⁻¹(1/18) যোগ করলে tan⁻¹(1/3)=cot⁻¹3 পাওয়া যায়।)
৩৪. tan⁻¹[1/√(x²-1)]-এর মান — উত্তর: (a) π/2-sec⁻¹x।
৩৫. cos[tan⁻¹{sin(cot⁻¹x)}]-এর মান — উত্তর: (c) √[(x²+1)/(x²+2)]।
৩৬. sec⁻¹(-√2)-এর মুখ্য মান — উত্তর: (b) 3π/4।
৩৭. 2tan⁻¹(sinx)=tan⁻¹(2secx) সমীকরণে x(≠π/2)-এর মান — উত্তর: (c) π/4। (সরল করলে tanx=1 পাওয়া যায়।)
৩৮. tan⁻¹(x-1)+tan⁻¹x+tan⁻¹(x+1)=tan⁻¹(3x) হলে x-এর মান — উত্তর: (c) (a) এবং (b) উভয়ই — অর্থাৎ x=0 এবং x=±1/2। (সরল করলে 2x(4x²-1)=0 পাওয়া যায়।)
৩৯. sin[cot⁻¹(x+1)]=cos[tan⁻¹x] হয় তবে x-এর মান — উত্তর: ⚠️ যাচাই করে নিন। প্রদত্ত সূত্র অনুযায়ী সরাসরি সমাধান করলে x=-1/2 পাওয়া যায়, যা তালিকার কোনো বিকল্পের (2, ±√2, ±√3) সাথে মেলে না। সম্ভবত মূল প্রশ্নে ভগ্নাংশ/চলক একটু ভিন্ন ছিল যা স্ক্যানে স্পষ্ট হয়নি — এই একটা প্রশ্ন বইয়ের সাথে অবশ্যই মিলিয়ে নিন, নাহলে ক্লাসে জিজ্ঞেস করুন।
৪০. tan⁻¹x+tan⁻¹y+tan⁻¹z=π হলে xy+yz+zx-এর মান — উত্তর: (d) কোনোটিই নয়। (এই শর্তে শুধু x+y+z=xyz নিশ্চিত হয়; xy+yz+zx-এর কোনো একক নির্দিষ্ট মান থাকে না — উদাহরণস্বরূপ x=1,y=2,z=3 নিলে xy+yz+zx=11 হয়, যা 1,-1,0 কোনোটার সাথেই মেলে না।)
📩Download Math Model Question 3rd Sem📩
HS Semester 3, দ্বাদশ শ্রেণি গণিত
৪১. tan⁻¹x+tan⁻¹y=π/2 হলে xy-এর মান — উত্তর: (a) 1।
৪২. f(x)=sec⁻¹x+tan⁻¹x হলে f(x)-এর সংজ্ঞার অঞ্চল — উত্তর: (c) (-∞,-1]∪[1,∞)। (sec⁻¹x-এর ডোমেনই সীমাবদ্ধকারী শর্ত।)
৪৩. y=cos⁻¹[cos(4π-10)] হলে (0,π)-এর মধ্যে y-এর মান — উত্তর: (b) 4π-10। (4π-10≈2.566, যা ইতিমধ্যেই [0,π]-এর মধ্যে, তাই সরাসরি এই মানই থেকে যায়।)
৪৪. tan⁻¹(1+x)+tan⁻¹(1-x)=π/6 হলে x-এর মান — উত্তর: ⚠️ যাচাই করে নিন — (d) কোনোটিই নয় (গণনা অনুযায়ী)। সরাসরি সূত্র বসিয়ে সমাধান করলে x²=2√3 পাওয়া যায়, অর্থাৎ x=±√(2√3), যা তালিকার √3, 2√3, 3√2 কোনোটার সাথেই মেলে না। বইয়ের সাথে মূল সমীকরণের ডান পক্ষের কোণ (π/6) একবার মিলিয়ে নিন।
৪৫. sin⁻¹(2a/(1+a²))+cos⁻¹((1-a²)/(1+a²))=tan⁻¹(2x/(1-x²)), যেখানে a,x∈(0,1) হলে x-এর মান — উত্তর: (b) 2a/(1-a²)। (উভয় পক্ষ 4tan⁻¹a ও 2tan⁻¹x-এ রূপান্তরিত হয়ে x=tan(2tan⁻¹a) পাওয়া যায়।)
৪৬. যখন |x|≤1, তখন 2tan⁻¹x+sin⁻¹(2x/(1+x²))-এর মান — উত্তর: (c) 4tan⁻¹x।
৪৭. যদি cos⁻¹x>sin⁻¹x হয় তবে — উত্তর: (d) কোনোটিই নয়। (প্রকৃত সমাধান -1≤x<1/√2, যা তালিকার কোনো বিকল্পের (0 থেকে শুরু হওয়া রেঞ্জ) সাথে হুবহু মেলে না।)
৪৮. cosec⁻¹(3/2)+cos⁻¹(2/3)-2cot⁻¹(1/7)-cot⁻¹(7)-এর মান — উত্তর: (c) -tan⁻¹7। (cosec⁻¹(3/2)+cos⁻¹(2/3) সরল করলে π/2 পাওয়া যায়, বাকি অংশ থেকে -tan⁻¹7 পাওয়া যায়।)
৪৯. cot⁻¹[{√(1-sinx)+√(1+sinx)}/{√(1-sinx)-√(1+sinx)}]-এর মান — উত্তর: (c) π-x/2।
৫০. cos⁻¹α+cos⁻¹β+cos⁻¹γ=3π হলে α(β+γ)+β(γ+α)+γ(α+β)-এর মান — উত্তর: (b) 6। (সর্বোচ্চ যোগফল 3π তখনই সম্ভব যখন α=β=γ=-1; হিসাব করলে মান 6 পাওয়া যায়।)
আরো দেখো: তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ – HS 3rd Semester Physics MCQ প্রশ্নোত্তর
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের “বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক”
৫১. sin⁻¹(2α/(1+α²))+sin⁻¹(2β/(1+β²))=2tan⁻¹x হলে x-এর মান — উত্তর: (a) (α+β)/(1-αβ)।
৫২. sin⁻¹x+sin⁻¹y+sin⁻¹z=π হলে x⁴+y⁴+z⁴+4x²y²z²-এর মান — উত্তর: (b) 2(x²y²+y²z²+z²x²)।
৫৩. sin[2cos⁻¹{cot(2tan⁻¹x)}]=0-এর সমাধান — উত্তর: (a) ±1, -1±√2, 1±√2।
৫৪. √(1+cos2x)=√2 cos⁻¹(cosx)-এর [π/2,π] মধ্যে বাস্তব সমাধানের সংখ্যা — উত্তর: (a) 0। ([π/2,π]-এ x+cosx সর্বদা ধনাত্মক থাকে, তাই কোনো বাস্তব সমাধান নেই।)
৫৫. 0<x<1 হলে, √(1+x²)[{xcos(cot⁻¹x)+sin(cot⁻¹x)}²-1]^(1/2)-এর মান — উত্তর: (b) x√(1+x²)।
৫৬. tan⁻¹√[x(x+1)]+sin⁻¹√(x²+x+1)=π/2 সমীকরণের বাস্তব সমাধানের সংখ্যা — উত্তর: (c) 2। (x=0 এবং x=-1 — দুটোই বৈধ সমাধান, ৮ নং প্রশ্নের অনুরূপ পদ্ধতিতে।)
৫৭. যদি a≤sin⁻¹x+cos⁻¹x+tan⁻¹x≤b হয় তবে — উত্তর: (d) কোনোটিই নয়। (sin⁻¹x+cos⁻¹x=π/2 ধ্রুবক, তাই আসল রেঞ্জ π/4≤…≤3π/4, যা তালিকার বিকল্পের সাথে মেলে না।)
৫৮. যদি x, t²-t-2>0 অসমীকরণকে সিদ্ধ করে, তবে নিম্নলিখিত কোন ক্ষেত্রে একটি মান পাওয়া সম্ভব — উত্তর: (c) sec⁻¹x। (x²-x-2>0 থেকে x<-1 বা x>2 পাওয়া যায় — এই পরিসীমায় sec⁻¹x-ই একমাত্র সংজ্ঞায়িত থাকে, sin⁻¹x বা cos⁻¹x নয়।)
৫৯. A=tan⁻¹[√3x/(2λ-x)] এবং B=tan⁻¹[(2x-λ)/(λ√3)] হলে A-B-এর মান — উত্তর: (b) 30°। (বীজগাণিতিকভাবে সরল করলে tan(A-B)=1/√3 পাওয়া যায়, যা যেকোনো x,λ-এর জন্যই সত্য থাকে।)
Assertion-Reason Type Questions (৬০–৬৫): বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
নির্দেশিকা: a) বিবৃতি-১ সত্য, বিবৃতি-২ সত্য এবং বিবৃতি-২, বিবৃতি-১-এর সঠিক ব্যাখ্যা b) বিবৃতি-১ সত্য, বিবৃতি-২ সত্য এবং বিবৃতি-২, বিবৃতি-১-এর সঠিক ব্যাখ্যা নয় c) বিবৃতি-১ সত্য, বিবৃতি-২ মিথ্যা d) বিবৃতি-১ মিথ্যা, বিবৃতি-২ সত্য
৬০. বিবৃতি-১: cos⁻¹[{√(1-sinx)+√(1+sinx)}/{√(1-sinx)-√(1+sinx)}]-এর মান π-x/2। বিবৃতি-২: tan⁻¹x+cot⁻¹x=π/2। উত্তর: (d)। ⚠️ যাচাই করে নিন — x=π/2 বসিয়ে পরীক্ষা করলে বাম পক্ষের প্রকৃত মান π পাওয়া যায় (π-x/2=3π/4 নয়), তাই বিবৃতি-১ ভুল মনে হচ্ছে; বিবৃতি-২ প্রতিষ্ঠিত সত্য অভেদ। মূল বইয়ের রাশিটা (হয়তো cot⁻¹ ব্যবহৃত হয়েছিল cos⁻¹-এর জায়গায়) একবার মিলিয়ে নিন।
৬১. বিবৃতি-১: sin⁻¹(12/13)+cos⁻¹(4/5)+tan⁻¹(63/16)-এর মান π/2। বিবৃতি-২: tan⁻¹x+tan⁻¹y=π+tan⁻¹[(x+y)/(1-xy)] যখন xy>1। উত্তর: (d)। ⚠️ যাচাই করে নিন — সরাসরি হিসাব করলে সমষ্টিটা আসলে π হয় (π/2 নয়), তাই বিবৃতি-১ ভুল মনে হচ্ছে; বিবৃতি-২ (x,y ধনাত্মক ধরে নিলে) প্রতিষ্ঠিত সত্য সূত্র।
৬২. বিবৃতি-১: cot⁻¹x+cot⁻¹2x+π=0 সমীকরণের বীজ সংখ্যা শূন্য। বিবৃতি-২: cot⁻¹x এবং cos⁻¹x-এর বিস্তার যথাক্রমে (0,π) এবং [0,π]। উত্তর: (a)। (cot⁻¹x-এর রেঞ্জ সর্বদা ধনাত্মক (0,π) বলে দুটো cot⁻¹-এর যোগফল কখনও -π হতে পারে না, তাই সমীকরণটির কোনো বাস্তব সমাধান নেই।)
৬৩. বিবৃতি-১: cos⁻¹(cos30)-এর মুখ্যমান 30-9π। বিবৃতি-২: (30-9π)∈[0,π]। উত্তর: (d)। ⚠️ যাচাই করে নিন — 30 রেডিয়ানকে 2π দিয়ে কমিয়ে আনলে প্রকৃত মুখ্যমান দাঁড়ায় 10π-30 (≈1.416), যা 30-9π (≈1.726)-এর সমান নয়; তাই বিবৃতি-১ ভুল মনে হচ্ছে, যদিও 30-9π সংখ্যাটা কাকতালীয়ভাবে [0,π]-এর মধ্যেই পড়ে (বিবৃতি-২ সত্য)। বড় কোণের রিডাকশন খুবই ভুল-প্রবণ জায়গা, তাই এটা অবশ্যই বইয়ের সাথে মিলিয়ে নিন।
৬৪. বিবৃতি-১: tan⁻¹x এবং cot⁻¹x-এর সংজ্ঞার অঞ্চল R। বিবৃতি-২: f(x)=tanx এবং g(x)=cotx বদ্ধ অপেক্ষক নয়। উত্তর: (a)। (tan ও cot অপেক্ষক অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত (unbounded) বলেই তাদের বিপরীত অপেক্ষকের ডোমেন সম্পূর্ণ R হয় — এটাই সরাসরি ব্যাখ্যা।)
৬৫. বিবৃতি-১: tan⁻¹(3/4)+tan⁻¹(1/7)=π/4। বিবৃতি-২: x>0, y>0 হলে tan⁻¹(x/y)+tan⁻¹[(y-x)/(y+x)]=π/4। উত্তর: (a)। (x=3,y=4 বসালে বিবৃতি-২-এর সাধারণ সূত্র থেকে ঠিক বিবৃতি-১-এর নির্দিষ্ট উদাহরণটাই পাওয়া যায়।)
পরীক্ষার জন্য জরুরি টিপস: Inverse Trigonometric Functions, উচ্চমাধ্যমিক গণিত
- যোগ-বিয়োগের সূত্র প্রয়োগের আগে সব সময় xy-এর মান পরীক্ষা করুন — xy>1 হলে +π/-π যোগ করা লাগবে কিনা সেটা প্রথমে নির্ণয় করুন, তারপর সূত্র বসান।
- বড় কোণ (যেমন 30 রেডিয়ান)-এর cos⁻¹(cosθ) নির্ণয়ে প্রথমে θ-কে 2π দিয়ে ভাগ করে অবশিষ্টাংশ [0,2π)-এর মধ্যে আনুন, তারপর সেটা কোন চতুর্ভাগে পড়ছে দেখে মূল সূত্র প্রয়োগ করুন।
- তিন-চলকের আইডেন্টিটি (২৫-২৭ নং প্রশ্নের ধরন) মুখস্থ রাখুন — এগুলো প্রায় প্রতি বছরই পরীক্ষায় আসে।
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক, Inverse Trigonometric Functions, উচ্চমাধ্যমিক গণিত
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক অধ্যায়ে বেশিরভাগ ভুল হয় সূত্রের “শর্ত” অংশটা উপেক্ষা করার কারণে — সূত্র মুখস্থ থাকলেই যথেষ্ট নয়, কখন কোন সংস্করণ প্রযোজ্য সেটাও জানতে হবে। উপরে ⚠️ চিহ্নিত প্রশ্নগুলো (১৫, ২৯, ৩৯, ৪৪, ৬০, ৬১, ৬৩) চূড়ান্ত প্রস্তুতির আগে একবার নিজের বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া উচিত, যেহেতু কোনো official answer key ব্যবহার করা হয়নি — সবকিছু প্রতিষ্ঠিত গাণিতিক জ্ঞানের ভিত্তিতে সাবধানে যাচাই করে দেওয়া হয়েছে।
📩Download Math Model Question 3rd Sem📩
এখানে আলোচনা করা হলো বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026), উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের “বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক” অধ্যায়ের সম্পূর্ণ MCQ ও অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্নোত্তর, ব্যাখ্যাসহ। WBCHSE সিলেবাস অনুযায়ী প্র্যাকটিসের জন্য আদর্শ।
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ, বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক, Inverse Trigonometric Functions, উচ্চমাধ্যমিক গণিত, WBCHSE, তৃতীয় সেমিস্টার, Class 12 Mathematics, HS Semester 3, দ্বাদশ শ্রেণি গণিত
- বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ ও অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্নোত্তর, ব্যাখ্যাসহ। WBCHSE সিলেবাস অনুযায়ী প্র্যাকটিসের জন্য আদর্শ। বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ (Inverse Trigonometric Functions) প্রশ্নোত্তর — উচ্চমাধ্যমিক তৃতীয় সেমিস্টার গণিত উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের দ্বিতীয় ইউনিট বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক (Inverse Trigonometric Functions) — এখানে সবচেয়ে বেশি ভুল হয় যোগ-বিয়োগের সূত্রে … - সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ ও অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্নোত্তর, ব্যাখ্যাসহ। WBCHSE সিলেবাস অনুযায়ী প্র্যাকটিসের জন্য আদর্শ। সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ (Relations and Functions) প্রশ্নোত্তর — উচ্চমাধ্যমিক তৃতীয় সেমিস্টার গণিত উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের সিলেবাসে সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ (Relations and Functions) অধ্যায়টা প্রথম ইউনিট হলেও এখানেই সবচেয়ে বেশি ছাত্রছাত্রী … - তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ – HS 3rd Semester Physics MCQ প্রশ্নোত্তর
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার “তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ” অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তরসহ। লেঞ্জের সূত্র, আবেশাঙ্ক, ট্রান্সফরমার, AC বর্তনী সংক্রান্ত সব প্রশ্ন এখানে। তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ: HS 3rd Semester Physics প্রশ্নোত্তর তৃতীয় সেমিস্টারের পঞ্চম ও শেষ মূল ইউনিট তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ — এখানে লেঞ্জের সূত্র, স্ব-আবেশ, পারস্পরিক … - তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ ও যোগাযোগ ব্যবস্থা – HS 3rd Semester Physics MCQ প্রশ্নোত্তর
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার “তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ ও যোগাযোগ ব্যবস্থা” সংক্রান্ত মডেল প্রশ্নপত্রের প্রশ্ন উত্তরসহ তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ ও যোগাযোগ ব্যবস্থা: HS 3rd Semester Physics প্রশ্নোত্তর তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার সিলেবাসে তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ ও যোগাযোগ ব্যবস্থা টপিকটা মূল ৫টা ইউনিটের মতো আলাদা কোনো পূর্ণাঙ্গ Model Question Paper হিসেবে আসেনি — বরং সাধারণ মিশ্র মক টেস্ট (Set-I … - তড়িৎ প্রবাহের চৌম্বক ক্রিয়া ও চুম্বকত্ব – HS 3rd Semester Physics সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্নোত্তর
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার “তড়িৎ প্রবাহের চৌম্বক ক্রিয়া ও চুম্বকত্ব” অধ্যায়ের সবকটি MCQ প্রশ্ন উত্তরসহ। বায়ো-সাভার্ট সূত্র, সাইক্লোট্রন, চুম্বকত্ব সংক্রান্ত সব প্রশ্ন এখানে। তড়িৎ প্রবাহের চৌম্বক ক্রিয়া ও চুম্বকত্ব: HS 3rd Semester Physics সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্নোত্তর তৃতীয় সেমিস্টারের চতুর্থ অধ্যায় তড়িৎ প্রবাহের চৌম্বক ক্রিয়া ও চুম্বকত্ব — এখানে বায়ো-সাভার্ট সূত্র, অ্যাম্পিয়ারের সূত্র, সাইক্লোট্রন … - প্রবাহী তড়িৎ – HS 3rd Semester Physics সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্নোত্তর
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার “প্রবাহী তড়িৎ” অধ্যায়ের সবকটি MCQ প্রশ্ন উত্তরসহ। কারেন্ট, রোধ, পোটেনশিওমিটার, মিটার ব্রিজ সংক্রান্ত সব প্রশ্ন এখানে। প্রবাহী তড়িৎ: HS 3rd Semester Physics সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্নোত্তর প্রবাহী তড়িৎ অধ্যায়টা তৃতীয় সেমিস্টারের মধ্যে সবচেয়ে “প্র্যাকটিক্যাল” — এখানেই পোটেনশিওমিটার, মিটার ব্রিজ, শান্ট-গ্যালভানোমিটারের মতো যন্ত্রের হিসাব আসে, যেগুলো ল্যাব পরীক্ষাতেও কাজে লাগে। নিচে …