উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ ও অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্নোত্তর, ব্যাখ্যাসহ। WBCHSE সিলেবাস অনুযায়ী প্র্যাকটিসের জন্য আদর্শ।
সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ (Relations and Functions) প্রশ্নোত্তর — উচ্চমাধ্যমিক তৃতীয় সেমিস্টার গণিত
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের সিলেবাসে সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ (Relations and Functions) অধ্যায়টা প্রথম ইউনিট হলেও এখানেই সবচেয়ে বেশি ছাত্রছাত্রী গুলিয়ে ফেলে — বিশেষত ইনজেক্টিভ, সাবজেক্টিভ আর বাইজেক্টিভ চিত্রণের পার্থক্য নিয়ে। এই পোস্টে WBCHSE-এর তৃতীয় সেমিস্টার প্যাটার্ন অনুযায়ী সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ-র সম্পূর্ণ প্রশ্নোত্তর দেওয়া হলো, প্রতিটা উত্তরের সংক্ষিপ্ত যুক্তিসহ।
সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ: এক নজরে
এই অধ্যায়ে মূলত তিনটে স্তম্ভ নিয়ে কাজ — সম্বন্ধ (Relation)-এর ধর্ম (স্বসম/reflexive, প্রতিসম/symmetric, সংক্রমণ/transitive এবং সমতুল্যতা/equivalence), অপেক্ষক (Function)-এর শ্রেণিবিভাগ (এক-এক/one-one, উপরিচিত্রণ/onto, বাইজেক্টিভ) এবং বিপরীত অপেক্ষক (Inverse Function) নির্ণয়। নিচের প্রশ্নব্যাংকে মোট ৪৫টা সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ এবং ৫টা অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্ন রয়েছে।
📩Download Math Model Question 3rd Sem📩
কেন এক-এক, উপরিচিত্রণ, বাইজেক্টিভ গুলিয়ে যায় — আর কীভাবে সহজে মনে রাখবে
বেশিরভাগ ছাত্রছাত্রী এই তিনটে ধারণা মুখস্থ করে, কিন্তু পরীক্ষার হলে গুলিয়ে ফেলে। কারণটা আসলে সহজ — দুটো ভিন্ন প্রশ্নের উত্তর একসাথে গুলিয়ে যায়:
প্রশ্ন ১ (ইনজেক্টিভ কিনা): “আউটপুটে কি একই মান দুবার আসছে?” যদি না আসে, তাহলে এক-এক (one-one)। এটা যাচাইয়ের সহজ কৌশল হলো — অপেক্ষকটা যদি সম্পূর্ণ ডোমেনে সব সময় বাড়তে থাকে (strictly increasing) বা সব সময় কমতে থাকে (strictly decreasing), তাহলে সেটা স্বয়ংক্রিয়ভাবেই এক-এক। যেমন এই প্রশ্নব্যাংকের ১ নং প্রশ্নে f(x)=x|x| সব সময় বাড়ছে বলে সেটা এক-এক প্রমাণ করতে আলাদা করে বীজগণিত করারও দরকার নেই।
প্রশ্ন ২ (সারজেক্টিভ/উপরিচিত্রণ কিনা): এখানে আসল কথা হলো — অপেক্ষকের রেঞ্জ (range, প্রকৃত আউটপুটের সেট) আর ঘোষিত কোডোমেন (codomain, যেখানে যাওয়ার কথা বলা হয়েছে) কি ঠিক সমান? যদি সমান হয়, তাহলে উপরিচিত্রণ; কোডোমেনের চেয়ে রেঞ্জ ছোট হলে সেটা অন্তঃচিত্রণ (into)। এই প্রশ্নব্যাংকের ৩১ নং প্রশ্নে f:R⁺→R⁺, f(x)=eˣ — এখানে অনেকে ভুল করে বলে এটা “invertible”, কিন্তু আসল রেঞ্জ হলো (1,∞), যা ঘোষিত কোডোমেন R⁺=(0,∞)-এর সমান নয় — তাই এটা উপরিচিত্রণ নয়, ফলে বিপরীত অপেক্ষকও (এই কোডোমেনের সাপেক্ষে) সংজ্ঞায়িত নয়।
সহজ মনে রাখার উপায়: এক-এক পরীক্ষা করতে হয় ডোমেনের দিকে তাকিয়ে (দুটো আলাদা ইনপুট কি একই আউটপুট দিচ্ছে?), আর উপরিচিত্রণ পরীক্ষা করতে হয় কোডোমেনের দিকে তাকিয়ে (পুরো কোডোমেন কি কভার হচ্ছে?)। দুটো শর্তই পূরণ হলে তবেই বাইজেক্টিভ, আর তখনই কেবল বিপরীত অপেক্ষক (inverse function) পুরোপুরি সংজ্ঞায়িত হয়।
সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ: সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্ন উত্তর (১–৪৫)
১. f:A→B, f(x)=x|x| দ্বারা সংজ্ঞাত, A=B={x:-1≤x≤1}। f(x) চিত্রণটি হবে — উত্তর: (B) এক-এক উপরিচিত্রণ। (x≥0-এ f(x)=x², x<0-এ f(x)=-x² — সম্পূর্ণ ডোমেনে সর্বদা ক্রমবর্ধমান, তাই এক-এক; আর রেঞ্জ [-1,1]=B, তাই উপরিচিত্রণও।)
২. Z-এর উপর R={(a,b): a²+b² বিজোড়}। R সম্পর্কে সঠিক বিবৃতি — উত্তর: (A) R সম্বন্ধটি স্বসম নয়, প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয়। (a²+a² সর্বদা জোড়, তাই স্বসম নয়; প্রতিসম স্পষ্ট; সংক্রমণের জন্য a=2,b=1,c=2 নিলে ব্যতিক্রম পাওয়া যায়।)
৩. f(x)=x², g(x)=2ˣ হলে f{g(x)}=g{f(x)} এর সমাধান সেট — উত্তর: (B) {0, 2}। (2^(2x)=2^(x²) থেকে x²-2x=0।)
৪. f:R⁺→R⁺, R⁺={x:0≤x<∞}, f(x)=x/(x+1) চিত্রটি হবে — উত্তর: (A) এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়। (ক্রমবর্ধমান বলে এক-এক, কিন্তু রেঞ্জ [0,1), যা R⁺ নয়।)
৫. A={1,2,3,4,5,6,7}, B={1,4,7}, R={(x,y): x>y, x∈A, y∈B}। R⁻¹-এর ক্ষেত্র হবে — উত্তর: (C) {1, 4}। (R-এর বিস্তার = {1,4}, কারণ y=7-এর জন্য A-তে কোনো বড় সংখ্যা নেই।)
৬. f:R→R, f(x)=x যখন x∈Q, f(x)=1-x যখন x∉Q। সেক্ষেত্রে (f∘f) = — উত্তর: (B) Iᵣ। (মূলদের জন্য f(f(x))=x; অমূলদের জন্যও 1-x অমূলদ থেকে যায়, তাই f(f(x))=1-(1-x)=x।)
৭. Z×Z-এর উপর R={(a,b): a-b=±5}। বিবৃতি I: R প্রতিসম; বিবৃতি II: R সংক্রমণ হয় — উত্তর: (B) বিবৃতি I মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য। ⚠️ যাচাই করে নিন — মূল প্রশ্নে “বিবৃতি I: R প্রতিসম” লেখা থাকলেও তা আসলে সত্য (a-b=5 হলে b-a=-5, যা ±5 শর্ত মেনে চলে); সম্ভবত মূল বইয়ে বিবৃতি I ছিল “R স্বসম” (যা মিথ্যা, কারণ a-a=0≠±5) এবং বিবৃতি II “R প্রতিসম” (যা সত্য)। এই ধরে নিয়েই উত্তর (B)।
৮. f:N→N, f(x)=2x+1, ∀x∈N হলে f চিত্রণটি হবে — উত্তর: (B) এক-এক। (ক্রমবর্ধমান বলে এক-এক, কিন্তু রেঞ্জ শুধু বিজোড় সংখ্যা ≥3, তাই উপরিচিত্রণ নয়।)
৯. নিচের কোনটি কোনো চিত্রণ সূচিত হয় না — উত্তর: (B) R₂ = {(x,y): x,y∈R এবং y²=x}। (একটা x-এর জন্য y=±√x — দুটো মান পাওয়া যায়, তাই এটা অপেক্ষক নয়।)
১০. f(x)=5|x|-x², g(x)=2x-3 হলে g{f(-2)}-এর মান হবে — উত্তর: (A) 9। (f(-2)=5(2)-4=6; g(6)=2×6-3=9।)
১১. A={a,b,c} সেটে R={(a,a),(b,b),(c,c)} সম্বন্ধ হয় তবে R সম্বন্ধটি হবে — উত্তর: (a) স্বসম। (এটা অভেদ সম্বন্ধ — শুধু স্বসম, প্রতিসম/সংক্রমণ নিয়ে প্রশ্ন নয়।)
১২. R হল বাস্তব সংখ্যার সেট, ρ={(x,y): x²+y²=1}। ρ সম্বন্ধটি হবে — উত্তর: (b) প্রতিসম। (x²+y²=1 হলে y²+x²=1 — প্রতিসম; কিন্তু স্বসম নয় কারণ 2x²=1 সব x-এর জন্য সত্য নয়।)
১৩. f:R→R, f(x)=cos x দ্বারা সংজ্ঞাত, x∈R চিত্রণটি হল — উত্তর: (a) এক-এক বা উপরিচিত্রণ নয়। (পর্যাবৃত্ত বলে এক-এক নয়, রেঞ্জ [-1,1] বলে উপরিচিত্রণও নয়।)
১৪. θ,φ∈R, ρ={(θ,φ): sin²θ+sin²φ=1}। বিবৃতি I: ρ is reflexive, বিবৃতি II: ρ is transitive — উত্তর: (d) উভয় বিবৃতি মিথ্যা। (স্বসমের জন্য 2sin²θ=1 সব θ-তে সত্য নয়; সংক্রমণও ভাঙে।)
১৫. f:R→R, f(x)=ax+3 দ্বারা সংজ্ঞাত, যদি f∘f=Iᵣ হয়, Iᵣ অভেদ অপেক্ষক হলে a-এর মান — উত্তর: (c) -1। (a²x+3a+3=x থেকে a²=1 ও 3a+3=0, তাই a=-1।)
১৬. f:R→R অপেক্ষক f(x)=|x|, A={x: x∈R, x>0}, তবে f⁻¹(A) হবে — উত্তর: (c) R-{0}। (|x|>0 যেসব x-এর জন্য সত্য, সেটাই R থেকে 0 বাদ দিলে পাওয়া যায়।)
১৭. একটি অসীম সেট A-এর মূলদ (cardinal) সংখ্যা p হলে A সেটের ঘাতসেটের (power set) সংখ্যা হবে — উত্তর: (b) 2ᵖ।
১৮. সসীম সেট A-এর উপাদান সংখ্যা n, A সেটে সংজ্ঞাত R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ যার ক্রমযুগলের সংখ্যা m হলে — উত্তর: (b) m ≥ n। (সমতুল্যতা সম্বন্ধে অন্তত অভেদ ক্রমযুগলগুলো (n সংখ্যক) থাকতেই হবে।)
১৯. A={a,b,c} সেটের উপর সংজ্ঞাত সমতুল্যতা সম্পর্কের সংখ্যা — উত্তর: (b) 5। (৩-উপাদানবিশিষ্ট সেটের বিভাজন সংখ্যা — Bell number B(3)=5।)
২০. N×N-এর উপর R={(a,b) R (c,d): ad(b+c)=bc(a+d)}। R সম্পর্কটি হবে — উত্তর: (a) সমতুল্যতা। (শর্তটা বীজগাণিতিকভাবে সরলীকরণ করলে দাঁড়ায় 1/a – 1/b = 1/c – 1/d, যা সমতা-ভিত্তিক বলে স্বাভাবিকভাবেই সমতুল্যতা সম্বন্ধ।)
২১. R={(a,b): 1+ab>0}, বাস্তব সংখ্যার সেটে সংজ্ঞাত। R সম্বন্ধটি হবে — উত্তর: (b) প্রতিসম। ⚠️ যাচাই করে নিন — এই সম্বন্ধটি স্বসমও (যেহেতু 1+a² সব সময় ধনাত্মক) এবং প্রতিসমও (1+ab=1+ba), কিন্তু সংক্রমণ নয় (a=10, b=-0.05, c=-100 নিলে ভাঙে)। যেহেতু বিকল্পে দুটো ধর্মই (স্বসম, প্রতিসম) আলাদা করে দেওয়া আছে, বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া ভালো।
২২. যদি R ও R’ দুটো প্রতিসম নয় বরং স্বসম সম্পর্ক (পরস্পর পৃথক নয়) A সেটের উপর হয়, তবে R∩R’ সম্পর্কটি হবে — উত্তর: (a) কেবল স্বসম। (দুটো স্বসম সম্পর্কের ছেদ সর্বদা স্বসম থাকে, কিন্তু প্রতিসম বা সংক্রমণ নিশ্চিত নয়।)
২৩. N সেটের উপর R সম্পর্কটি হল R={(1+x, 1+x²): x≤5, x∈N} — নিম্নলিখিত কোনটি সত্য — উত্তর: (b) R-এর বিস্তার = {2, 5, 10, 17, 26}। ⚠️ যাচাই করে নিন — x=1,2,3,4,5 বসিয়ে R={(2,2),(3,5),(4,10),(5,17),(6,26)} পাওয়া যায়। তাই বিস্তার (range/y-মানগুলো) = {2,5,10,17,26} এবং সংজ্ঞার অঞ্চল (domain/x-মানগুলো) = {2,3,4,5,6} — দুটোই গাণিতিকভাবে সঠিক মনে হচ্ছে, তাই মূল বইয়ের সাথে একবার মিলিয়ে নেওয়া জরুরি।
২৪. f:R→R অপেক্ষক f(x)=x+|x| দ্বারা সংজ্ঞাত — উত্তর: (a) অন্তঃচিত্রণ। (রেঞ্জ [0,∞), যা সম্পূর্ণ R নয়, তাই into; এছাড়া x<0-এর সবকিছুই 0-তে যায় বলে এটা বহু-একও।)
২৫. f(x)=[x] অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত (যেখানে [·] বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যার অপেক্ষক) — উত্তর: (d) কোনোটিই নয়। (এটা বহু-এক ও অন্তঃচিত্রণ — যা তালিকার কোনো বিকল্পের সাথে মেলে না।)
২৬. A এবং B দুটি অশূন্য সেট যেখানে f:A×B→B×A, f(a,b)=(b,a) দ্বারা সংজ্ঞাত হলে f — উত্তর: (a) এক-এক উপরিচিত্রণ। (স্পষ্টতই বাইজেক্টিভ।)
২৭. A=R-{3}, B=R-{1} দুটি সেট, f:A→B যেখানে f(x)=(x-2)/(x-3) দ্বারা সংজ্ঞাত হলে f চিত্রটি — উত্তর: (a) এক-এক উপরিচিত্রণ। (ক্রস-গুণন করে যাচাই করলে এক-এক প্রমাণিত হয়, আর প্রতিটা y∈B-এর জন্য x=(3y-2)/(y-1)∈A পাওয়া যায় বলে উপরিচিত্রণও।)
২৮. f:X→Y চিত্রণ যেখানে A⊆X, B⊆X হলে f(A∪B) = — উত্তর: (c) f(A)∪f(B)। (এটা যেকোনো অপেক্ষকের জন্য সর্বদা সত্য একটি অভেদ।)
২৯. f:N→N অপেক্ষকটি f(x)=x+1 যখন x বিজোড়, f(x)=x-1 যখন x জোড় দ্বারা সংজ্ঞাত হলে f চিত্রণটি — উত্তর: (b) উপরিচিত্রণ। (প্রতিটা জোড়-বিজোড় জোড়া পরস্পর অদলবদল হয়ে বাইজেক্টিভ তৈরি করে — এক-একও, উপরিচিত্রণও।)
৩০. f(x)=(e^|x|-e^{-x})/(eˣ+e^{-x}) দ্বারা সংজ্ঞাত হলে f(x) অপেক্ষকটি — উত্তর: (b) বহু-এক অন্তঃচিত্রণ। ⚠️ যাচাই করে নিন — x<0-এর জন্য f(x)=0 (কারণ e^|x|=e^{-x}), অর্থাৎ সব ঋণাত্মক x একই আউটপুট দিচ্ছে (বহু-এক); আর x≥0-এ f(x)∈[0,1), সম্পূর্ণ রেঞ্জ R নয় (অন্তঃচিত্রণ)। মূল ছাপায় সূত্রটি (|x| না থাকলে) সাধারণ tanh(x)-ও হতে পারে, তাই বইয়ের প্রকৃত সূত্র একবার মিলিয়ে নিন।
৩১. R⁺ হল সকল ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার সেট এবং f:R⁺→R⁺, f(x)=eˣ, ∀x∈R⁺ দ্বারা সংজ্ঞাত হলে — উত্তর: (d) কোনোটিই নয়। ⚠️ যাচাই করে নিন — যেহেতু x>0-এর জন্য eˣ>1, রেঞ্জ (1,∞), যা ঘোষিত কোডোমেন R⁺=(0,∞)-এর সমান নয়। তাই এই কোডোমেনের সাপেক্ষে f উপরিচিত্রণ নয়, ফলে বিপরীত অপেক্ষকও (এই আকারে) সংজ্ঞায়িত নয়। তবে অনেক পাঠ্যবই আলগাভাবে “R⁺→R⁺” লিখেও শুধু injectivity ধরে “invertible” ধরে নেয় — তাই মূল বইয়ের প্রত্যাশিত উত্তরের সাথে অবশ্যই মিলিয়ে নিন।
📩Download Math Model Question 3rd Sem📩
৩২. f:Z→Z অপেক্ষক f(n)=n-1 যখন n বিজোড়, n+1 যখন n জোড় দ্বারা সংজ্ঞাত হলে — উত্তর: (a) f বিপরীত করণযোগ্য। (প্রতিটা জোড়-বিজোড় জোড়া পরস্পর অদলবদল হয়, ফলে f নিজেই নিজের বিপরীত অপেক্ষক — f∘f=I।)
৩৩. f:[-1,1]→Y অপেক্ষক f(x)=x/(x+2), x≠-2 দ্বারা সংজ্ঞাত এবং Y=f-এর প্রসার হলে f⁻¹-এর মান হবে — উত্তর: (c) 2y/(1-y)। (y=x/(x+2) থেকে x=2y/(1-y) বের করা যায়।)
৩৪. f:R→R অপেক্ষক f(x)=10x+7 দ্বারা সংজ্ঞাত, কোনো একটি অপেক্ষক g-এর জন্য g∘f=f∘g=Iᵣ হলে g হবে — উত্তর: (a) (y-7)/10।
৩৫. y=(10ˣ-10⁻ˣ)/(10ˣ+10⁻ˣ) অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষকটি হল — উত্তর: (b) (1/2)log₁₀[(1+x)/(1-x)]।
৩৬. g:R→R অপেক্ষক g(x)=3+4x দ্বারা সংজ্ঞাত, যদি gⁿ(x)=g∘g∘…(n সংখ্যক)…og(x) এবং gⁿ(x)=A+Bx হয়, তবে A ও B-এর মান — উত্তর: (b) 4ⁿ-1, 4ⁿ।
৩৭. যদি f(x)=(ax+b)/(cx+d) এবং (f∘f)(x)=x হয় তবে — উত্তর: (a) d=-a। (Möbius রূপান্তর নিজের বিপরীত হওয়ার শর্ত।)
৩৮. f(x+y)=f(x)×f(y), ∀x,y∈N এবং f(1)=3, এবং Σₓ₌₁ⁿ f(x)=120 হলে n-এর মান — উত্তর: (b) 4। (f(x)=3ˣ; 3+9+27+81=120, অর্থাৎ n=4।)
৩৯. f:R→R অপেক্ষকের f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y), ∀x,y∈R এবং f(0)≠0 হলে f(x) অপেক্ষক — উত্তর: (b) যুগ্ম। (y=0 বসিয়ে f(0)=1 পাওয়া যায়, তারপর x=0 বসিয়ে f(-y)=f(y) প্রমাণিত হয়।)
৪০. যদি f:A→B এবং g:B→C দুটি বাইজেক্টিভ অপেক্ষক হয় তবে (g∘f)⁻¹-এর মান — উত্তর: (a) f⁻¹∘g⁻¹।
৪১. f:N→N অপেক্ষকটি f(x)=x-(-1)ˣ দ্বারা সংজ্ঞাত হলে f — উত্তর: (a) এক-এক এবং উপরিচিত্রণ। (পরপর জোড়াগুলো (1,2),(3,4)… অদলবদল হয়ে বাইজেকশন তৈরি করে।)
৪২. অপেক্ষক f:R→R, f(x)=6ˣ+6^|x| দ্বারা সংজ্ঞাত হলে f — উত্তর: (c) এক-এক নয়। (x=0-এ f-এর একটা ন্যূনতম মান আছে, দুই পাশ থেকেই মান বাড়ে — তাই একই আউটপুটের জন্য একাধিক ইনপুট থাকতে পারে।)
৪৩. A={x:-1≤x≤1} এবং অপেক্ষক f:A→A, f(x)=x|x| দ্বারা সংজ্ঞাত হলে f অপেক্ষক — উত্তর: (a) বাইজেক্টিভ। (১ নং প্রশ্নের মতোই — সর্বদা ক্রমবর্ধমান, এবং রেঞ্জ=A।)
৪৪. যদি f:R→R, g:R→R এবং h:R→R, f(x)=x², g(x)=tan x এবং h(x)=log x সংজ্ঞাত হলে (g∘(f∘h))(x) at x=1-এর মান — উত্তর: (b) 0। (h(1)=log 1=0; f(0)=0; g(0)=tan 0=0।)
৪৫. ধরাযাক f:R-{3/5}→R, f(x)=(3x+2)/(5x-3) দ্বারা সংজ্ঞাত হলে — উত্তর: (c) (f∘f)(x)=x। ⚠️ যাচাই করে নিন — সরাসরি হিসাব করলে দেখা যায় f⁻¹(x)=f(x) (বিকল্প b) এবং (f∘f)(x)=x (বিকল্প c) — দুটোই গাণিতিকভাবে সমতুল্য ও সঠিক বিবৃতি (যেহেতু f নিজেই নিজের বিপরীত)। বইয়ে ঠিক কোন বিকল্পটাকে “একমাত্র সঠিক উত্তর” হিসেবে ধরা হয়েছে তা মিলিয়ে নেওয়া ভালো।
আরো দেখো: তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ – HS 3rd Semester Physics MCQ প্রশ্নোত্তর
Assertion-Reason Type Questions (৪৬–৫০): উচ্চমাধ্যমিক গণিত, WBCHSE, তৃতীয় সেমিস্টার
নির্দেশিকা: a) বিবৃতি-১ সত্য, বিবৃতি-২ সত্য, বিবৃতি-২ হল বিবৃতি-১-এর সঠিক ব্যাখ্যা b) বিবৃতি-১ সত্য, বিবৃতি-২ সত্য, বিবৃতি-২, বিবৃতি-১-এর সঠিক ব্যাখ্যা নয় c) বিবৃতি-১ সত্য, বিবৃতি-২ মিথ্যা d) বিবৃতি-১ মিথ্যা, বিবৃতি-২ সত্য
৪৬. বিবৃতি-১: ধরাযাক L = একটি সমতলে অবস্থিত সকল সরলরেখার সংগ্রহ এবং R={(L₁,L₂): L₁,L₂ পরস্পর লম্ব} — এটি সমতুল্যতা সম্পর্ক নয়। বিবৃতি-২: সমতুল্যতা সম্পর্কের ক্ষেত্রে, স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ সবগুলিই হতে হবে। উত্তর: (a)। (লম্ব সম্বন্ধ স্বসম নয় (কোনো রেখা নিজের সাথে লম্ব নয়) এবং সংক্রমণও নয় (L₁⊥L₂ ও L₂⊥L₃ হলে L₁∥L₃, লম্ব নয়) — তাই বিবৃতি-২ সরাসরি বিবৃতি-১-এর ব্যাখ্যা।)
৪৭. বিবৃতি-১: যদি R₁ এবং R₂, A সেটের উপর সংজ্ঞাত দুটি সমতুল্যতা সম্পর্ক হয় তবে R₁∩R₂ কে অবশ্যই সমতুল্যতা সম্পর্ক হবার প্রয়োজন নেই। বিবৃতি-২: একটি সমতুল্যতা সম্পর্কের ক্ষেত্রে, এটি স্বসম, প্রতিসম ও সংক্রমণ সম্পর্ক। উত্তর: (d)। (দুটো সমতুল্যতা সম্পর্কের ছেদ সর্বদা সমতুল্যতা সম্পর্কই হয় — এটা একটা প্রমাণিত উপপাদ্য। তাই বিবৃতি-১ মিথ্যা, বিবৃতি-২ সত্য।)
৪৮. বিবৃতি-১: যদি f:N→Y অপেক্ষক f(x)=4x+3 দ্বারা সংজ্ঞাত যেখানে Y={y∈N: y=4x+3, ∀x∈N} একটি বিপরীত করণযোগ্য অপেক্ষক। বিবৃতি-২: একটি বিপরীত করণযোগ্য অপেক্ষক এক-এক এবং উপরিচিত্রণ অপেক্ষক। উত্তর: (a)। (Y-কে ঠিক f-এর রেঞ্জ হিসেবেই সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, তাই f:N→Y স্বয়ংক্রিয়ভাবেই বাইজেক্টিভ ও বিপরীত করণযোগ্য — বিবৃতি-২ ঠিক এর কারণ ব্যাখ্যা করে।)
৪৯. A={1,2,3,4,5}, f,g:A→A যেখানে f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=5,f(5)=1 এবং g(1)=2,g(2)=1,g(3)=1,g(4)=2,g(5)=3। বিবৃতি-১: f∘g = {(1,3),(2,2),(3,2),(4,3),(5,4)}। বিবৃতি-২: g∘f = {(1,1),(2,1),(3,2),(4,3),(5,2)}। উত্তর: (b)। ⚠️ যাচাই করে নিন — সরাসরি হিসাব করলে f∘g এবং g∘f উপরের মতোই পাওয়া যায় (মূল স্ক্যানে কিছু জোড়ায় সংখ্যা অস্পষ্ট ছিল বলে এখানে হিসাব করে বসানো হয়েছে); দুটো বিবৃতিই সত্য, কিন্তু একটা আরেকটার ব্যাখ্যা নয় (দুটো স্বতন্ত্র গণনা) — তাই (b)। বইয়ের সাথে সংখ্যাগুলো একবার মিলিয়ে নিন।
৫০. ধরাযাক f:Z→Z অপেক্ষক f(x)=3x, x∈Z এবং g:Z→Z অপেক্ষক g(x)=x/3, x যদি 3-এর গুণিতক হয়; g(x)=0, x যদি 3-এর গুণিতক না হয়। বিবৃতি-১: g∘f=Iᵤ। বিবৃতি-২: f∘g=Iᵤ। উত্তর: (c)। (g∘f(x)=g(3x)=3x/3=x সব সময় সত্য, তাই বিবৃতি-১ সত্য। কিন্তু f∘g(x): x যদি 3-এর গুণিতক না হয়, তাহলে g(x)=0, f(0)=0≠x — তাই f∘g সম্পূর্ণ Z-তে অভেদ নয়, বিবৃতি-২ মিথ্যা।)
আরো দেখো: তড়িৎ প্রবাহের চৌম্বক ক্রিয়া ও চুম্বকত্ব – HS 3rd Semester Physics সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্নোত্তর
সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ, Relations and Functions: পরীক্ষার জন্য জরুরি টিপস
- এক-এক বনাম উপরিচিত্রণ — প্রতিবার নিজেকে জিজ্ঞেস করুন: প্রশ্নটা কি ডোমেন নিয়ে (এক-এক), নাকি কোডোমেন নিয়ে (উপরিচিত্রণ)? দুটো আলাদা যুক্তি, একসাথে গুলিয়ে ফেলবেন না।
- সমতুল্যতা সম্বন্ধ যাচাইয়ে সব সময় তিনটে ধাপেই (স্বসম → প্রতিসম → সংক্রমণ) আলাদা করে পরীক্ষা করুন, একটাতে ব্যর্থ হলেই সেটা সমতুল্যতা নয় — বাকি দুটো যাচাই করার দরকার নেই।
- বিপরীত অপেক্ষক নির্ণয়ে y=f(x) সমীকরণ থেকে x-কে y-এর মাধ্যমে প্রকাশ করার সময় সাবধানে চিহ্ন (sign) সামলান — এখানেই বেশিরভাগ ভুল হয়।
উচ্চমাধ্যমিক গণিত, WBCHSE, তৃতীয় সেমিস্টার
সম্বন্ধ ও অপেক্ষক অধ্যায়টা মূলত সংজ্ঞার সূক্ষ্ম পার্থক্য বোঝার অধ্যায় — একবার ইনজেক্টিভ-সারজেক্টিভ-বাইজেক্টিভের পার্থক্যটা স্পষ্ট হয়ে গেলে বাকি প্রশ্নগুলো অনেকটাই সহজ হয়ে যায়। উপরে ⚠️ চিহ্নিত প্রশ্নগুলো (৭, ২১, ২৩, ৩০, ৩১, ৪৫, ৪৯) চূড়ান্ত প্রস্তুতির আগে একবার নিজের বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া উচিত, যেহেতু এখানে কোনো official answer key ব্যবহার করা হয়নি — সবকিছু প্রতিষ্ঠিত গাণিতিক জ্ঞানের ভিত্তিতে সাবধানে যাচাই করে দেওয়া হয়েছে।
এখানে আমরা আলোচনা করেছি সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026) উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের “সম্বন্ধ ও অপেক্ষক” অধ্যায়ের সম্পূর্ণ MCQ ও অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্নোত্তর, ব্যাখ্যাসহ। WBCHSE সিলেবাস অনুযায়ী প্র্যাকটিসের জন্য আদর্শ।
📩Download Math Model Question 3rd Sem📩
সম্বন্ধ ও অপেক্ষক সম্বন্ধ ও অপেক্ষক, Relations and Functions, উচ্চমাধ্যমিক গণিত, WBCHSE, তৃতীয় সেমিস্টার, Class 12 Mathematics, HS Semester 3 সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ, দ্বাদশ শ্রেণি গণিত সব কিছুই আছে এই পোস্টে
- বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ ও অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্নোত্তর, ব্যাখ্যাসহ। WBCHSE সিলেবাস অনুযায়ী প্র্যাকটিসের জন্য আদর্শ। বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ (Inverse Trigonometric Functions) প্রশ্নোত্তর — উচ্চমাধ্যমিক তৃতীয় সেমিস্টার গণিত উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের দ্বিতীয় ইউনিট বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক (Inverse Trigonometric Functions) — এখানে সবচেয়ে বেশি ভুল হয় যোগ-বিয়োগের সূত্রে … - সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ ও অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্নোত্তর, ব্যাখ্যাসহ। WBCHSE সিলেবাস অনুযায়ী প্র্যাকটিসের জন্য আদর্শ। সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ (Relations and Functions) প্রশ্নোত্তর — উচ্চমাধ্যমিক তৃতীয় সেমিস্টার গণিত উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের সিলেবাসে সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ (Relations and Functions) অধ্যায়টা প্রথম ইউনিট হলেও এখানেই সবচেয়ে বেশি ছাত্রছাত্রী … - তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ – HS 3rd Semester Physics MCQ প্রশ্নোত্তর
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার “তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ” অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তরসহ। লেঞ্জের সূত্র, আবেশাঙ্ক, ট্রান্সফরমার, AC বর্তনী সংক্রান্ত সব প্রশ্ন এখানে। তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ: HS 3rd Semester Physics প্রশ্নোত্তর তৃতীয় সেমিস্টারের পঞ্চম ও শেষ মূল ইউনিট তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ — এখানে লেঞ্জের সূত্র, স্ব-আবেশ, পারস্পরিক … - তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ ও যোগাযোগ ব্যবস্থা – HS 3rd Semester Physics MCQ প্রশ্নোত্তর
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার “তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ ও যোগাযোগ ব্যবস্থা” সংক্রান্ত মডেল প্রশ্নপত্রের প্রশ্ন উত্তরসহ তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ ও যোগাযোগ ব্যবস্থা: HS 3rd Semester Physics প্রশ্নোত্তর তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার সিলেবাসে তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ ও যোগাযোগ ব্যবস্থা টপিকটা মূল ৫টা ইউনিটের মতো আলাদা কোনো পূর্ণাঙ্গ Model Question Paper হিসেবে আসেনি — বরং সাধারণ মিশ্র মক টেস্ট (Set-I … - তড়িৎ প্রবাহের চৌম্বক ক্রিয়া ও চুম্বকত্ব – HS 3rd Semester Physics সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্নোত্তর
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার “তড়িৎ প্রবাহের চৌম্বক ক্রিয়া ও চুম্বকত্ব” অধ্যায়ের সবকটি MCQ প্রশ্ন উত্তরসহ। বায়ো-সাভার্ট সূত্র, সাইক্লোট্রন, চুম্বকত্ব সংক্রান্ত সব প্রশ্ন এখানে। তড়িৎ প্রবাহের চৌম্বক ক্রিয়া ও চুম্বকত্ব: HS 3rd Semester Physics সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্নোত্তর তৃতীয় সেমিস্টারের চতুর্থ অধ্যায় তড়িৎ প্রবাহের চৌম্বক ক্রিয়া ও চুম্বকত্ব — এখানে বায়ো-সাভার্ট সূত্র, অ্যাম্পিয়ারের সূত্র, সাইক্লোট্রন … - প্রবাহী তড়িৎ – HS 3rd Semester Physics সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্নোত্তর
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার “প্রবাহী তড়িৎ” অধ্যায়ের সবকটি MCQ প্রশ্ন উত্তরসহ। কারেন্ট, রোধ, পোটেনশিওমিটার, মিটার ব্রিজ সংক্রান্ত সব প্রশ্ন এখানে। প্রবাহী তড়িৎ: HS 3rd Semester Physics সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্নোত্তর প্রবাহী তড়িৎ অধ্যায়টা তৃতীয় সেমিস্টারের মধ্যে সবচেয়ে “প্র্যাকটিক্যাল” — এখানেই পোটেনশিওমিটার, মিটার ব্রিজ, শান্ট-গ্যালভানোমিটারের মতো যন্ত্রের হিসাব আসে, যেগুলো ল্যাব পরীক্ষাতেও কাজে লাগে। নিচে …