WBCHSE দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর অধ্যায়ের ৯০টি MCQ প্রশ্নের সম্পূর্ণ সমাধানসহ উত্তর — সন্ততা, অন্তরকলনযোগ্যতা, অন্তরকলন কৌশল ও প্রয়োগ
কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর (Calculus) সম্পূর্ণ MCQ — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত
উচ্চ মাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণির তৃতীয় সেমিস্টার গণিত পরীক্ষায় কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর (Calculus) সবচেয়ে বড় ও গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায় — সন্ততা (continuity), অন্তরকলনযোগ্যতা (differentiability), অন্তরকলন কৌশল (differentiation techniques) এবং তার প্রয়োগ (rate of change, tangent-normal, ক্রমবর্ধমান/ক্রমহ্রাসমান অপেক্ষক, চরমমান) — সবকিছু মিলিয়ে প্রচুর প্রশ্ন আসে।
নিচে টপিক-ভিত্তিক মডেল প্রশ্নব্যাংক wbchse থেকে সংগৃহীত ৯০টি MCQ প্রশ্নের সম্পূর্ণ সমাধানসহ কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর ধারাবাহিকভাবে দেওয়া হল — প্রতিটি কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর Python/SymPy দিয়ে প্রতীকী ও সাংখ্যিক গণনা করে যাচাই করা হয়েছে।
কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর: এক নজরে
এই কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর বিশাল কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর অধ্যায়ে চারটি প্রধান অংশ:
- সন্ততা ও অন্তরকলনযোগ্যতা (Q1-31): কোনো বিন্দুতে অপেক্ষক সন্তত/অন্তরকলনযোগ্য কিনা তা যাচাই।
- অন্তরকলন কৌশল (Q32-59): যৌগিক অপেক্ষক, implicit differentiation, প্যারামেট্রিক অপেক্ষক, লগারিদমিক differentiation।
- দ্বিতীয় অন্তরকলন ও সম্পর্ক (Q26, Q46-56): y2 সংক্রান্ত অভেদ প্রমাণ।
- প্রয়োগ (Q60-90): পরিবর্তনের হার (rate of change), স্পর্শক-অভিলম্ব (tangent-normal), ক্রমবর্ধমান/ক্রমহ্রাসমান অপেক্ষক, চরমমান (maxima-minima)।
⚠️ সীমাবদ্ধতা: প্রতিটি উত্তর SymPy দিয়ে প্রতীকী ও সাংখ্যিক (numeric) উভয়ভাবে যাচাই করে সাবধানে নির্ণয় করা হয়েছে। কোনো official/প্রকাশকের answer key ব্যবহার করা হয়নি। এত বড় কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর অধ্যায়ে (৯০টি প্রশ্ন) কিছু প্রশ্নে মূল স্ক্যানের অস্পষ্টতা বা মুদ্রণ ত্রুটির কারণে গণনার ফলাফল প্রদত্ত বিকল্পের সাথে হুবহু না মেলায় আলাদা নোট দেওয়া হয়েছে — চূড়ান্ত প্রকাশের আগে বইয়ের সাথে কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর একবার মিলিয়ে নেওয়া ভালো।
সন্ততা ও অন্তরকলনযোগ্যতা (প্রশ্ন ১–৩১): কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর
১. f(x)=(4-x²)/(4x-x³) অপেক্ষকটি a) কেবলমাত্র একটি বিন্দুতে অসন্তত b) দুটি বিন্দুতে অসন্তত c) তিনটি বিন্দুতে অসন্দত d) কোনোটিই নয় সমাধান: সরল করলে f(x)=1/x (x≠0,±2), কিন্তু মূল ডিনোমিনেটর x(2-x)(2+x)=0 হয় x=-2,0,2-এ — তিনটি বিন্দুতেই অসন্তত।
২. f(x)={log x/(x-1), x≠1; k, x=1} অপেক্ষকটি x=1 বিন্দুতে সন্তত হলে k এর মান হবে— a) 0 b) -1 c) 1 d) e সমাধান: lim_{x→1} log(x)/(x-1)=1 (প্রতিষ্ঠিত সীমা), তাই k=1।
৩. f(x)={kx/|x|, x<0; 3, x≥0} অপেক্ষকটি x=0 বিন্দুতে সন্তত হলে k এর মান হবে— a) 2 b) -1 c) -3 d) 3 সমাধান: x<0-এ kx/|x|=-k; সন্ততার জন্য -k=3, তাই k=-3।
৪. f(x)=1/(1-x) এবং fⁿ=f∘f∘… (n সংখ্যক), f³ⁿ(x) অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুর সংখ্যা— a) 0 b) 1 c) 2 d) 3n সমাধান: f²(x)=(x-1)/x, f³(x)=x (অভেদ অপেক্ষক!); তাই f^(3n)=identity, যা সর্বত্র সন্তত — কোনো অসন্তত বিন্দু নেই।
৫. x এর সকল বাস্তব মানে f(x)={x²-c², x<4; cx+20, x≥4}, সন্তত হলে c এর মান হবে— a) -2 b) -1 c) 0 d) 2 সমাধান: x=4-এ সন্ততা: 16-c²=4c+20 → (c+2)²=0 → c=-2।
৬. f(x)=|x|-|x+1| অপেক্ষকের অসন্তত বিন্দুর সংখ্যা— a) 2 b) 3 c) 0 d) 1 সমাধান: দুটি |·| অপেক্ষকই সর্বত্র সন্তত, তাদের বিয়োগফলও সর্বত্র সন্তত।
৭. f(x)=x+√(x²-4) অপেক্ষকটি a) x=2 বিন্দুতে সন্তত b) x=-2 বিন্দুতে সন্তত c) x=±2 বিন্দুতে সন্তত d) x=±2 বিন্দুতে অসন্তত সমাধান: ডোমেন x≤-2 বা x≥2; এই ডোমেনের মধ্যে (প্রান্তবিন্দু সহ) অপেক্ষকটি সর্বত্র সন্তত।
৮. নিম্নের কোন অপেক্ষকটি সর্বত্র সন্তত? a) sinx b) 1/x c) √x d) 1/(x²-1) সমাধান: sinx-এর ডোমেন সম্পূর্ণ R এবং এটি সর্বত্র সন্তত; বাকিগুলোর ডোমেনে সীমাবদ্ধতা/অসন্ততা আছে।
৯. f(x)=[x] অপেক্ষকটি সন্তত (যেখানে [·] বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা)— a) -2 বিন্দুতে b) 4 বিন্দুতে c) 1.2 বিন্দুতে d) 1 বিন্দুতে সমাধান: floor অপেক্ষক পূর্ণসংখ্যা বিন্দুতে অসন্তত, অ-পূর্ণসংখ্যা বিন্দুতে (যেমন 1.2) সন্তত।
১০. f(x)=xⁿ, n∈N হলে: a) f সন্তত n সংখ্যক বিন্দুতে b) f সন্তত নয় n সংখ্যক বিন্দুতে c) f সন্তত n সংখ্যক বিন্দুতে কিন্তু f(n) এর সঙ্গে সমান নয় d) কোনোটিই নয় সমাধান: xⁿ একটি বহুপদী, যা সমগ্র R-এ (অসীম সংখ্যক বিন্দুতে) সন্তত — “n সংখ্যক বিন্দু” বলাটাই ভুল।
১১. f(x)=x|x| অপেক্ষক— a) সন্তত ও অন্তরকলনযোগ্য x=0 বিন্দুতে b) সন্তত কিন্তু অন্তরকলনযোগ্য নয় c) অন্তরকলনযোগ্য কিন্তু সন্তত নয় d) সন্তত নয় এবং অন্তরকলনযোগ্য নয় সমাধান: f'(x)=2|x| সর্বত্র সংজ্ঞাত ও সন্তত, x=0-এ f'(0)=0 — তাই উভয়ই সিদ্ধ হয়।
Class 12 Semester 3 Math, Continuity Differentiability
১২. f(x)={x/|x|, x<0; -1, x≥0} সন্তত হয়— a) R b) {0} c) R-{0} d) {-1,1} সমাধান: x<0-এ x/|x|=-1; x≥0-এ ও -1; অর্থাৎ f(x)=-1 সর্বত্র — ধ্রুবক অপেক্ষক, তাই সর্বত্র (R-তে) সন্তত।
১৩. f(x)={[x]+[-x], x∈(1,2)∪(2,3); λ, x=2} সন্তত হলে x=2-এ, λ-এর মান— a) 1 b) -1 c) 0 d) -2 সমাধান: (1,2)-এ [x]+[-x]=1+(-2)=-1; (2,3)-এ [x]+[-x]=2+(-3)=-1; উভয় দিক থেকেই সীমা -1, তাই λ=-1।
১৪. f(x)={(e^(3x)-e^(-5x))/x, x≠0; k, x=0} x=0 বিন্দুতে সন্তত হলে k এর মান হবে— a) 3 b) 5 c) 2 d) 8 সমাধান: প্রতিষ্ঠিত সীমা (e^ax-1)/x→a প্রয়োগে সীমা=3-(-5)=8।
১৫. f(x)=2x, g(x)=x²/2+1-এর জন্য নিম্নলিখিত কোন ক্ষেত্রে সন্তত— a) f(x)+g(x) b) f(x)-g(x) c) f(x)·g(x) d) g(x)/f(x) সমাধান: f,g উভয়ই বহুপদী (সর্বত্র সন্তত); তাই যোগ, বিয়োগ, গুণফল (a,b,c) সর্বত্র সন্তত, কিন্তু ভাগফল (d) x=0-এ অসংজ্ঞাত (f(0)=0)। ⚠️ প্রশ্নের উদ্দেশ্য অনুযায়ী (a),(b),(c) তিনটিই সঠিক হতে পারে — বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া ভালো, কোন একটি নির্দিষ্ট বিকল্প প্রত্যাশিত তা নিশ্চিত নয়।
১৬. যদি f(x)={x²+3x+a, x≤1; bx+2, x>1} অন্তরকলনযোগ্য হলে: a) a=3,b=5 b) a=0,b=5 c) a=0,b=3 d) a=3,b=3 সমাধান: অন্তরকলনযোগ্যতার শর্তে (derivative match at x=1) b=5; সন্ততার শর্তে a+4=b+2=7 → a=3।
১৭. f(x)=x(√x-√(x+1)) অপেক্ষক— a) অন্তরকলনযোগ্য x=0 বিন্দুতে b) x=0 তে অন্তরকলনযোগ্য নয় c) সন্তত কিন্তু অন্তরকলনযোগ্য নয় d) x=1 বিন্দুতে অন্তরকলনযোগ্য নয় সমাধান: ডোমেন x≥0 (√x-এর কারণে), তাই x=0-এ শুধু ডানপক্ষীয় অন্তরকলন প্রাসঙ্গিক, যা সুনির্ধারিতভাবে বিদ্যমান (-1)।
১৮. x=a বিন্দুতে f(x) অন্তরকলনযোগ্য হলে lim_{x→a} [xf(a)-af(x)]/(x-a) এর মান— a) f(a)+af'(a) b) f'(a)-af(a) c) f(a)-a²f'(a) d) f(a)-af'(a) সমাধান: রাশিটি f(a)-a·(f(x)-f(a))/(x-a) আকারে সাজিয়ে সীমা নিলে f(a)-af'(a) পাওয়া যায়।
১৯. নিম্নলিখিত কোনটি সংজ্ঞার অঞ্চলে অন্তরকলনযোগ্য নয়— a) √(x²+1) b) 1/x c) |x²-4| d) 1/√x সমাধান: |x²-4|-এর x=±2 বিন্দুতে (যা ডোমেনের মধ্যেই আছে) একটি “কিংক” তৈরি হয়, তাই সেখানে অন্তরকলনযোগ্য নয়; বাকিগুলো নিজ নিজ ডোমেনে সর্বত্র মসৃণ।
২০. f(x)=x+|x| অন্তরকলনযোগ্য— a) (0,∞) b) (-∞,0) c) R-{0} d) R সমাধান: x=0-এ বাম ও ডান অন্তরকলন যথাক্রমে 0 ও 2 (ভিন্ন), বাকি সর্বত্র মসৃণ।
২১. f(x)=x/(1+|x|) অন্তরকলনযোগ্য— a) (-∞,-1)∪(1,∞) b) (-∞,∞) c) (0,∞) d) (-∞,0)∪(0,∞) সমাধান: x=0-এও বাম ও ডান অন্তরকলন উভয়ই 1 (সমান), তাই সম্পূর্ণ R-এ অন্তরকলনযোগ্য।
WBCHSE গণিত সাজেশন, দ্বাদশ শ্রেণি গণিত MCQ
আরো দেখো: সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
২২. f(x)=tan(x) অবকলনযোগ্য— a) R b) R-{nπ,n∈Z} c) R-{(2n+1)π/2:n∈Z} d) R-{2nπ,n∈Z} সমাধান: tanx শুধু π/2-এর বিজোড় গুণিতকে অসংজ্ঞাত/অসন্তত।
২৩. f:R→R এবং g:(0,∞)→R অপেক্ষকগুলি f(x)=x³ এবং g(x)=log(x) হলে f(x)·g(x) অবকলনযোগ্য— a) R b) (0,∞) c) R-{0} d) (-∞,0) সমাধান: log(x)-এর ডোমেনই (0,∞) সীমাবদ্ধ, তাই গুণফলও সেখানেই সংজ্ঞাত ও অবকলনযোগ্য।
২৪. f(x)=|sinx| অপেক্ষক— a) অন্তরকলনযোগ্য x=0 তে b) x=0 তে অন্তরকলনযোগ্য নয় c) সন্তত এবং অন্তরকলনযোগ্য d) কোনোটিই নয় সমাধান: sinx≈x-এর কাছাকাছি হওয়ায় |sinx|-এরও |x|-এর মতো x=0-এ একটি কিংক তৈরি হয়।
২৫. f(x)={x², x≤1; 1/x, x>1} অপেক্ষক— a) সন্তত এবং অন্তরকলনযোগ্য b) সন্তত কিন্তু অন্তরকলনযোগ্য নয় c) অন্তরকলনযোগ্য কিন্তু সন্তত নয় d) সন্তত নয় এবং অন্তরকলনযোগ্য নয় সমাধান: x=1-এ উভয়পক্ষীয় মান 1 (সন্তত), কিন্তু বাম অন্তরকলন=2, ডান অন্তরকলন=-1 (ভিন্ন)।
২৬. f(x)=log_e(log_e x) হলে f'(e)— a) e b) 2/e c) 1/e d) 0 সমাধান: f'(x)=1/(x log_e x); x=e-তে log_e(e)=1, তাই f'(e)=1/e।
📩Download Math Model Question 3rd Sem📩
২৭. যদি y=10^(10^x) হয় তবে dy/dx হয়— a) 10^(10ˣ)(log_e^10)² b) 10^(10ˣ)·10ˣ(log_e^10)² c) 10^(10ˣ)10ˣlog_e^10 d) 10^(10ˣ)log_e^10 সমাধান: চেইন রুল প্রয়োগে dy/dx=10^(10ˣ)·10ˣ·(ln10)²।
২৮. xᵐyⁿ=(x+y)^(m+n) হলে dy/dx এর মান— a) x/y b) y/x c) -y/x d) কোনোটিই নয় সমাধান: লগারিদমিক differentiation প্রয়োগে সরাসরি dy/dx=y/x পাওয়া যায় (প্রতিষ্ঠিত অভেদ)।
২৯. e^(x²y)=c হলে dy/dx এর মান— a) e^(x²y)/2y b) 2y/x c) x/(2y) d) 2xy সমাধান: x²y=ln(c) ধ্রুবক ধরে implicit differentiation করলে প্রকৃতপক্ষে dy/dx=-2y/x পাওয়া যায়। ⚠️ বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া ভালো — গণনায় ঋণাত্মক চিহ্ন (-2y/x) আসছে, কিন্তু প্রদত্ত বিকল্পে ধনাত্মক (2y/x) লেখা; সম্ভবত মুদ্রণে চিহ্ন বাদ পড়েছে।
৩০. y=x+x³/3+x⁵/5+…∞ (অসীম ধারা) হলে dy/dx এর মান— a) 1/(1-x²) b) 1/(1+x²) c) -1/(1-x²) d) -1/(1+x²) সমাধান: ধারাটি tanh⁻¹x (=½ln((1+x)/(1-x)))-এর বিস্তার; এর অন্তরকলন 1/(1-x²)।
কলনবিদ্যা, Calculus, HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত, WBCHSE গণিত
৩১. x=a+1/(b+1/(a+1/(b+…∞))) এবং y=b+1/(a+1/(b+1/(a+…∞))) হলে dy/dx এর মান— ⚠️ এই ধারাবাহিক ভগ্নাংশ (continued fraction) সমস্যাটি জটিল এবং সাংখ্যিক যাচাইয়ে প্রদত্ত সাধারণ বিকল্পগুলোর (b/a, -b/a, a/b, -a/b ধরনের) সাথে পরিষ্কারভাবে মেলেনি। বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া আবশ্যক।
অন্তরকলন কৌশল ও দ্বিতীয় অন্তরকলন (প্রশ্ন ৩২–৫৯)
আরো দেখো: তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ – HS 3rd Semester Physics MCQ প্রশ্নোত্তর
৩২. x=y^(y^(y^…∞)) হলে dy/dx এর মান— a) y(1-xlogy)/x² b) y(1-xlogy)/x c) y(1+xlogy)/x² d) y(1-xlogy)/x³ সমাধান: x=yˣ থেকে লগ নিয়ে implicit differentiation করলে dy/dx=y(1-x log y)/x² পাওয়া যায়।
৩৩. P=|x 1;1 x|, Q=|x 1 1;1 x 1;1 1 x|, dQ/dx (P-এর মাধ্যমে প্রকাশিত) এর মান— a) 3P+1 b) -3P c) 3P d) 1-3P সমাধান: P=x²-1, Q=x³-3x+2; dQ/dx=3x²-3=3(x²-1)=3P।
৩৪. x=-1/3 বিন্দুতে √(1+3x) এর সাপেক্ষে sec⁻¹(2x²+1) এর অন্তরকলন— a) 0 b) 1/2 c) 1/3 d) কোনোটিই নয় সমাধান: উভয় অপেক্ষকের অন্তরকলনের অনুপাতের সীমা x→-1/3-এ 0 হয়।
৩৫. y=(2/√(a²-b²))tan⁻¹(√((a-b)/(a+b))tan(x/2)) হলে, dy/dx এর মান— a) 1/(a+bcosx), a>b>0 b) 1/(a-bcosx),a<b<0 c) 1/(a+bcosx),a<b<0 d) 1/(a-bcosx),a>b>0 সমাধান: প্রতীকী ও সাংখ্যিক যাচাইয়ে dy/dx হুবহু 1/(a+bcosx)-এর সমান (a>b>0 শর্তে)।
৩৬. y=f(x²) এবং f'(x)=e^√x, হলে dy/dx এর মান— a) 2xe^-x b) 2eˣ c) 2xeˣ d) x সমাধান: dy/dx=f'(x²)·2x=e^√(x²)·2x=2xeˣ (x>0 ধরে)।
৩৭. y=(log secx)/cosx + (log cotx)/tanx, 0<x<π/2 হলে, dy/dx এর মান— ⚠️ সরাসরি এই রাশি অন্তরকলন করে কোনো সরল ধ্রুবক মান (2, 0, 1/sinx, secx) পাওয়া যায়নি। সম্ভবত মূল প্রশ্নের রাশিটি স্ক্যানে আংশিক ভুল উঠে এসেছে। বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া আবশ্যক।
৩৮. y=1+a/(x-a)+bx/((x-a)(x-b))+cx²/((x-a)(x-b)(x-c)) এবং dy/dx={a/(a-x)+b/(b-x)+c/(c-x)}f(x,y) হলে f(x,y) এর মান— ⚠️ গণনায় f(x,y)=x²/[(x-a)(x-b)(x-c)] পাওয়া যায়, যা প্রদত্ত সরল বিকল্পের (যেমন x/y, xy) সাথে সরাসরি মেলেনি। বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া ভালো।
৩৯. y=sec⁻¹(√13/(2cosx-3sinx)) হয়, dy/dx এর মান— a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 সমাধান: সাংখ্যিকভাবে একাধিক বিন্দুতে যাচাই করে dy/dx সবসময় ঠিক 1 পাওয়া যায়।
৪০. √(1-x^(2n))+√(1-y^(2n))=a(xⁿ-yⁿ) হলে dy/dx এর মান— ⚠️ সাধারণ n-এর জন্য গণনার ফলাফল জটিল আকারে আসে; প্রত্যাশিত সরল বিকল্পের সাথে সরাসরি মেলানো যায়নি। বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া ভালো।
কলনবিদ্যা (Calculus) MCQ প্রশ্ন উত্তর
আরো দেখো: বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
৪১. y=(1+sinθ+cosθ)/(1+sinθ-cosθ) হলে dy/dθ + 1/(1-cosθ) এর মান— a) 0 b) 1 c) -1 d) কোনোটিই নয় সমাধান: প্রতীকীভাবে যাচাই করলে dy/dθ = -1/(1-cosθ), তাই যোগফল 0।
৪২. (p-qcosy)(p+qcosx)=p²-q² হলে dy/dx এর মান— উত্তর: √(p²-q²)/(p+qcosx), শর্তে p>q>0 সমাধান: implicit differentiation ও ত্রিকোণমিতিক সরলীকরণে dy/dx=√(p²-q²)/(p+qcosx) পাওয়া যায় (p>q>0 ধরে)। ⚠️ মূল বইয়ের বিকল্পগুলোর লেখচিত্রে “a,b” ভেরিয়েবল ভুলবশত এসে গেছে বলে মনে হচ্ছে (আসলে p,q হওয়া উচিত) — বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া ভালো।
৪৩. y=cos⁻¹((3x+4√(1-x²))/5) হলে dy/dx এর মান— a) -1/√(1-x²) b) 1/√(1-x²) c) 1/(1-x²) d) -1/(1-x²) সমাধান: x=sinθ প্রতিস্থাপনে 3x+4√(1-x²)=5sin(θ+φ) আকারে সাজিয়ে সরল করলে dy/dx=-1/√(1-x²) পাওয়া যায় (সাংখ্যিকভাবেও যাচাই করা হয়েছে)।
৪৪. x=cos⁻¹(8t⁴-8t²+1), y=sin⁻¹(3t-4t³), 0<t<1/4 হলে dy/dx এর মান— a) 2 b) 3/4 c) -3/4 d) -2 সমাধান: প্যারামেট্রিক অন্তরকলনে dy/dx সাংখ্যিকভাবে ধ্রুবক 0.75=3/4 পাওয়া যায়।
৪৫. যদি y=(1+x²+x⁴)/(1+x+x²) এবং dy/dx=ax+b, হয়, তবে a ও b এর মান যথাক্রমে— a) 2,-1 b) 2,1 c) -2,1 d) 1,2 সমাধান: y সরলীকরণে y=x²-x+1 পাওয়া যায়; dy/dx=2x-1, তাই a=2,b=-1।
৪৬. যদি y=eᵃˣcos(bx) হয় তবে— a) y2+2ay1+(a²+b²)y=0 b) y2-2ay1+(a²+b²)y=0 c) y2-2ay1-(a²+b²)y=0 d) y2+2ay1-(a²+b²)y=0 সমাধান: দ্বিতীয় অন্তরকলন গণনা করে যাচাই করলে হুবহু এই অভেদটি সিদ্ধ হয়।
৪৭. যদি y√(x²+1)=log(√(x²+1)-x) হয় তবে— a) (x²+1)y2+xy1+1=0 b) (x²+1)y2-xy1+0=0 c) (x²+1)y2+3xy1+y=0 d) (x²+1)y2+xy1+y=0 সমাধান: প্রথমে (x²+1)y1+xy+1=0 পাওয়া যায়; পুনরায় অন্তরকলন করে (x²+1)y2+3xy1+y=0 পাওয়া যায়।
৪৮. যদি y=log(x+√(x²+a²)) হয় তবে (x²+a²)y2+x(dy/dx) এর মান— ⚠️ সরাসরি গণনায় ফলাফল 0 পাওয়া যায়, যা প্রদত্ত বিকল্পের (4y,-4y,2y,-2 ধরনের) সাথে মেলেনি — সম্ভবত মূল অপেক্ষকটি [log(x+√(x²+a²))]² (বর্গ সহ) হওয়া উচিত ছিল। বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া আবশ্যক।
৪৯. যদি y=(sin⁻¹2x)²+(cos⁻¹2x)² হয়, তবে (1-4x²)y2-4xy1 এর মান— a) 0 b) 4 c) 16 d) 12 সমাধান: দ্বিতীয় অন্তরকলন গণনা করে যাচাই করলে মান ধ্রুবক 16 পাওয়া যায়।
৫০. যদি 2x=y^(1/5)+y^(-1/5) হয়, তবে (x²-1)y2+xy1 এর মান— a) 25y b) 24y c) 9y d) 18y সমাধান: সাংখ্যিকভাবে একাধিক বিন্দুতে যাচাই করে এই রাশি সবসময় 25y-এর সমান পাওয়া যায়।
HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (সন্ততা, অন্তরকলন, প্রয়োগ)
৫১. যদি pvᵃ=c হয় তবে v²(d²p/dv²) এর মান (যেখানে a এবং c ধ্রুবক)— a) a(a+1)p b) a(a-1)p c) (a+1)p d) (a-1)p সমাধান: p=cv⁻ᵃ থেকে সরাসরি গণনা করে v²p”=a(a+1)p পাওয়া যায়।
৫২. যদি f(1)=3, f'(1)=2, f”(1)=4 হয় তবে (f⁻¹)”(3) এর মান— a) 1 b) -1/2 c) -2 d) 4 সমাধান: বিপরীত অপেক্ষকের দ্বিতীয় অন্তরকলনের সূত্র প্রয়োগে g”(3)=-f”(1)·g'(3)/[f'(1)]²=-1/2।
৫৩. যদি p²=a²cos²θ+b²sin²θ হয় তবে p+d²p/dθ² এর মান— a) a²b²/p³ b) a²b²/p² c) ab/p d) কোনোটিই নয় সমাধান: প্রতীকীভাবে সরল করে হুবহু a²b²/p³ পাওয়া যায় (প্রতিষ্ঠিত অভেদ)।
৫৪. যদি y=xⁿ⁺¹logx হয় তবে x²(d²y/dx²)-(2n+1)x(dy/dx) এর মান— a) (n+1)²y b) (n-1)²y c) -(n+1)²y d) -(n-1)²y সমাধান: হাতে-কলমে ও সাংখ্যিকভাবে (n=1,2,3 বসিয়ে) যাচাই করে হুবহু -(n+1)²y পাওয়া যায়।
৫৫. যদি y=e^(sinx) হয় তবে d²y/dx² এর প্রকাশ— ⚠️ মূল প্রশ্নে একটি অতিরিক্ত চলক z=e^(-cosx) উল্লেখ ছিল যার ব্যবহার স্ক্যানে স্পষ্ট নয় (সম্ভবত dy/dz সংক্রান্ত প্রশ্ন)। সরাসরি y”=(cos²x-sinx)e^(sinx) পাওয়া যায়, তবে প্রদত্ত সরল সাংখ্যিক বিকল্পের সাথে মেলানো সম্ভব হয়নি। বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া আবশ্যক।
৫৬. যদি 3x²+4y²=12 হয় তবে |16y³y”| এর মান— সমাধান: উপবৃত্তের উপর প্যারামেট্রিকভাবে একাধিক বিন্দুতে সাংখ্যিকভাবে যাচাই করে |16y³y”|=36 (ধ্রুবক) পাওয়া যায়। ⚠️ বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া আবশ্যক — প্রদত্ত বিকল্পগুলোর (48, -238/27, -283/27, 283/27) কোনোটির সাথেই এই মান মেলেনি।
৫৭. y=x³ এবং λ=y”/(1+y’²)^(3/2) হলে (1,1) বিন্দুতে λ এর মান— a) 3/(5√10) b) 5/(3√10) c) 6/(5√10) d) 5/(6√10) সমাধান: y’=3x²,y”=6x; (1,1)-এ y’=3,y”=6; λ=6/10^1.5=3/(5√10)।
📩Download Math Model Question 3rd Sem📩
৫৮. যদি f(x)=x³+x²f'(1)+xf”(2) হয় তবে f”(2) এর মান— a) -2 b) 1 c) 2 d) -1 সমাধান: f'(x) ও f”(x) নিয়ে x=1,2 বসিয়ে দুটি সমীকরণ সমাধান করলে f”(2)=2 পাওয়া যায়।
৫৯. y=tan⁻¹[log(e/x³)/log(ex³)]+tan⁻¹[log(e⁴x³)/log(e/x¹²)] হয় তবে dy/dx এর মান— a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 সমাধান: t=logx ধরে উভয় পদকে tan⁻¹যোগ/বিয়োগ সূত্রে সরল করলে y=π/4+tan⁻¹4 (ধ্রুবক) পাওয়া যায়, তাই dy/dx=0।
কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর ‘প্রয়োগ’: পরিবর্তনের হার, স্পর্শক-অভিলম্ব, চরমমান (প্রশ্ন ৬০–৯০)
৬০. যদি f:R→R, f(x)=x³+3x+1 সংজ্ঞাত এবং g(x), f(x) এর বিপরীত অপেক্ষক হয়, তবে g”(5) এর মান— a) -1/6 b) -1/16 c) -1/36 d) -1/96 সমাধান: f(1)=5,f'(1)=6,f”(1)=6; g”(5)=-f”(1)g'(5)/[f'(1)]²=-1/36।
৬১. যদি y=f(x) অন্তরকলনযোগ্য অপেক্ষক হয় তবে— a) f(x+Δx)=f'(x)Δx b) f(x+Δx)=f(x)+Δx c) f(x+Δx)=f(x)+Δxf'(x) d) কোনোটিই নয় সমাধান: প্রথম ক্রমের রৈখিক আসন্নীকরণ (linear approximation)-এর সংজ্ঞা।
৬২. tan46° এর মান (যেখানে 1°=0.01745 রেডিয়ান)— a) 1.0349 b) 0.10349 c) 10.349 d) 0.01349 সমাধান: differential আসন্নীকরণে tan46°≈tan45°+1°·sec²45°=1+0.01745×2=1.0349।
৬৩. f(x)=2x-x² অপেক্ষকের পরিবর্তনের হার যখন x=4— a) -6 b) -8 c) 6 d) 8 সমাধান: f'(x)=2-2x; f'(4)=2-8=-6।
৬৪. সরলরেখা বরাবর গতিশীল কোনো কণার t সময়ে বেগ v cm/sec যদি 6t²-2t³ হয় তবে 4 sec পর কণার ত্বরণ হয়— a) -32 cm/s² b) 24 cm/s² c) 16 cm/s² d) -48 cm/s² সমাধান: ত্বরণ=dv/dt=12t-6t²; t=4-এ: 48-96=-48।
৬৫. যদি কোনো ঘনকের আয়তন বৃদ্ধির হার γ এবং তলের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার β হয় তবে— ⚠️ সাধারণ ধারার ঘনকের (edge=a) জন্য γ=3a²(da/dt), β=12a(da/dt), অর্থাৎ অনুপাত β/γ=4/a — এটি a-এর মানের উপর নির্ভরশীল। “একক ঘনক” (a=1) ধরলে β=4γ পাওয়া যায়, যা প্রদত্ত বিকল্পের (2γ=3β ইত্যাদি) সাথে সরাসরি মেলে না। বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া আবশ্যক (সম্ভবত ঘনকের নির্দিষ্ট বাহুর দৈর্ঘ্য উল্লেখ ছিল যা স্ক্যানে হারিয়ে গেছে)।
৬৬. একটি বৃত্তাকার চাকতির ক্ষেত্রফল 2 cm²/s হারে বৃদ্ধি পেলে 2(6/11) সেকেন্ড পরে ব্যাসার্ধ পরিবর্তনের হার— a) 0.7 cm/s b) 0.5 cm/s c) 0.2 cm/s d) 0.25 cm/s সমাধান: A=πr², dA/dt=2 (ধ্রুবক); r=√(2t/π); নির্দিষ্ট সময়ে dr/dt সাংখ্যিকভাবে গণনা করে 0.25 cm/s পাওয়া যায়।
৬৭. y=x⁴-12 এর আপাত পরিবর্তনের মান যখন x এর মান 2 থেকে 1.99 এ পরিবর্তিত হয়— a) 0.32 b) 0.64 c) -0.32 d) 0.34 সমাধান: Δy≈dy/dx·Δx=4x³·(-0.01); x=2-এ: 32×(-0.01)=-0.32।
৬৮. একটি উল্টানো শঙ্কুর অর্ধশীর্ষ কোণ 45° থেকে 88 m³/min হারে জল বার করে দেওয়া হচ্ছে। যখন পাত্রে জলের গভীরতা 2 meters তখন উচ্চতা হ্রাসের হার— a) 4 m/min b) 2 m/min c) 5 m/min d) 7 m/min সমাধান: অর্ধশীর্ষ কোণ 45°-এ r=h; V=(π/3)h³; dV/dt=πh²(dh/dt); h=2-এ: -88=4π(dh/dt) → |dh/dt|≈7 m/min।
📩Download Math Model Question 3rd Sem📩
৬৯. কোনো সরল দোলকের দোলনকাল T এবং দৈর্ঘ্য l যেখানে T=2π√(l/g)। দোলনকালের আপাত পরিবর্তনের হার যখন l এর পরিবর্তনের হার 2%— a) 2% b) 1% c) 1/2% d) কোনোটিই নয় সমাধান: T∝√l হওয়ায় dT/T=(1/2)(dl/l)=(1/2)(2%)=1%।
৭০. x=t²-3, y=2t+1, বক্রের অভিলম্বের প্রবণতা যখন t=2— a) -1/2 b) 1/2 c) 2 d) -2 সমাধান: dx/dt=2t,dy/dt=2; স্পর্শকের প্রবণতা=1/t; t=2-এ স্পর্শকের প্রবণতা=1/2, অভিলম্বের প্রবণতা=-2।
WBCHSE দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের “কলনবিদ্যা”
৭১. x²+y²-4x-6y-3=0 বক্রের কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ— ⚠️ প্রশ্নে স্পর্শক অঙ্কনের নির্দিষ্ট বিন্দুটি স্ক্যানে উল্লেখ ছিল না/হারিয়ে গেছে, যা ছাড়া নির্দিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় সম্ভব নয়। বইয়ের সাথে মিলিয়ে বিন্দুর স্থানাঙ্ক যাচাই করা আবশ্যক।
৭২. x²+y²+2gx+2fy+c=0 বক্রের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক lx+my+n=0 হলে ঐ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ— a) mx+ly=lf+mg b) mx+ly=lf-mg c) mx-ly=lf-mg d) mx-ly=lf+mg সমাধান: বৃত্তের অভিলম্ব কেন্দ্র (-g,-f) দিয়ে যায় এবং স্পর্শকের অভিমুখ (l,m)-এর সমান্তরাল — এই শর্ত থেকে mx-ly=lf-mg পাওয়া যায়।
৭৩. xy=c² সমপরাবৃত্তের (ct, c/t) বিন্দুতে স্পর্শকের প্রবণতা— a) -1/t b) -1/t² c) 1/t d) 1/t² সমাধান: dy/dx=-1/t² (প্যারামেট্রিক অন্তরকলনে সরাসরি পাওয়া যায়)। ⚠️ মূল প্রশ্নে “অভিলম্বের প্রবণতা” (normal-এর slope) চাওয়া হলে উত্তর হবে t² — যা কোনো বিকল্পে নেই; তাই সম্ভবত প্রশ্নটি আসলে স্পর্শকের (tangent) প্রবণতা চাইছে, যা বিকল্প (b)-এর সাথে মেলে।
৭৪. x²+y²-4x+6y-2=0 বৃত্তের কোনো বিন্দু থেকে x²+y²-4x+6y+7=0 বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য— a) 4 একক b) 5 একক c) 3 একক d) 7 একক সমাধান: উভয় বৃত্তের কেন্দ্র অভিন্ন; স্পর্শকের দৈর্ঘ্য=√(7-(-2))=√9=3 একক।
৭৫. y²=x³ বক্রের (m²,m³) বিন্দুতে স্পর্শক ঐ বক্রের (M²,M³) বিন্দুতে অভিলম্ব হলে mM এর মান— a) -1/9 b) -2/9 c) -1/3 d) -4/9 সমাধান: স্পর্শকের প্রবণতা (3/2)m, অন্যটির (3/2)M; লম্ব শর্তে (9/4)mM=-1 → mM=-4/9।
৭৬. ax²+by²=1 এবং cx²+dy²=1 বক্রদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করলে— a) 1/a-1/b=1/c-1/d b) ac=bd c) 1/a+1/b=1/c+1/d d) 1/a-1/b=1/c-1/d সমাধান: এটি কনফোকাল কনিকের অর্থোগোনালিটির একটি প্রতিষ্ঠিত ফলাফল।
৭৭. y²=4ax বক্রের অভিলম্ব lx+my=1 হলে— a) al²+2alm²=m² b) al³+2alm²=m² c) al³-2alm²=m² d) কোনোটিই নয় সমাধান: প্যারাবোলার অভিলম্বের সাধারণ সমীকরণ থেকে l,m নির্ণয় করে এই অভেদ পাওয়া যায়।
৭৮. √x+√y=√a বক্রের কোনো বিন্দুতে স্পর্শকের অক্ষদ্বয়ের ছেদিতাংশের সমষ্টি— a) 1 একক b) 4 একক c) ধ্রুবক d) অনির্ণেয় সমাধান: যেকোনো বিন্দুতে x-অক্ষ ও y-অক্ষে ছেদিতাংশের সমষ্টি সবসময় a (একটি ধ্রুবক), বিন্দুর উপর নির্ভর করে না।
৭৯. y²=4x+5 বক্রের কোনো বিন্দুতে স্পর্শকটি y=2x+7 এর সমান্তরাল হলে সেই স্পর্শকের সমীকরণ— a) y=2x+5 b) y=2x+3 c) y=2x+8 d) y=2x+9 সমাধান: dy/dx=2/y=2 → y=1; y²=4x+5 থেকে x=-1; স্পর্শক: y=2x+3।
৮০. x²(x-y)+a²(x+y)=0 বক্রের মূল বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের x-অক্ষের সঙ্গে উৎপন্ন কোণ— a) 90° b) 135° c) 75° d) 60° সমাধান: মূলবিন্দুর কাছে নিম্নতম ঘাতের পদ a²(x+y)=0 প্রাধান্য পায়, তাই স্পর্শকের সমীকরণ x+y=0, প্রবণতা -1, কোণ=135°।
তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের “কলনবিদ্যা” অধ্যায়ের ৯০টি MCQ
৮১. f(x)=3/x+x/3 অপেক্ষক— a) ক্রমবর্ধমান (-∞,-3]∪[3,∞) b) ক্রমহ্রাসমান (-3,0)∩(0,3) c) ক্রমবর্ধমান [-3,3] d) ক্রমহ্রাসমান (-3,0)∪(0,3) সমাধান: f'(x)=1/3-3/x²; f'(x)<0 যখন |x|<3 (x≠0), তাই এই পাল্লায় ক্রমহ্রাসমান।
৮২. যদি f(x)=μx-sinx, x>0 একটি ক্রমবর্ধমান অপেক্ষক হয় তবে— a) μ>-1 b) μ<1 c) μ>1 d) μ<-1 সমাধান: f'(x)=μ-cosx≥0 সব x>0-এ সিদ্ধ হতে μ≥1 প্রয়োজন (cosx-এর সর্বোচ্চ মান 1)।
৮৩. f(x)=(x-1)³(x-2)² অপেক্ষক— a) ক্রমবর্ধমান (-∞,8/5]∪(2,∞) b) [8/5,2] অন্তরালে ক্রমবর্ধমান c) (-∞,1)∪(8/5,∞) অন্তরালে ক্রমবর্ধমান d) (1,2) অন্তরালে ক্রমহ্রাসমান সমাধান: f'(x)=(x-1)²(x-2)(5x-8); চিহ্ন বিশ্লেষণে (-∞,8/5] ও [2,∞)-এ ধনাত্মক, মাঝে ঋণাত্মক।
৮৪. f(x) অপেক্ষক x=a বিন্দুতে অন্তরকলনযোগ্য হলে x=a তে ক্রমবর্ধমান হয় যখন— a) f'(a)>0 b) f'(a)<0 c) f”(a)≥0 d) f”(a)≤0 সমাধান: একটি বিন্দুতে ধনাত্মক অন্তরকলন মানেই সেখানে অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান।
৮৫. যদি A+B=π/2 হয় তবে cosAcosB এর বৃহত্তম মান— a) 1/2 b) 3/4 c) 1 d) 4/5 সমাধান: cosAcosB=cosAsinA=(1/2)sin2A, সর্বোচ্চ মান 1/2 (2A=π/2 হলে)।
৮৬. [1,e] এর অন্তরালে x²logx এর বৃহত্তম মান— a) e² b) (1/e)log(1/√e) c) e²log√e d) কোনোটিই নয় সমাধান: f'(x)=x(2logx+1)>0 সমগ্র [1,e]-এ (সংকট বিন্দু ডোমেনের বাইরে), তাই f ক্রমবর্ধমান — সর্বোচ্চ মান ডান প্রান্তে f(e)=e²।
৮৭. x=1 এর জন্য ax²+bx+4 এর সর্বনিম্নমান -1 হলে a ও b এর মান যথাক্রমে— a) 5,-10 b) 5,-5 c) 5,5 d) 10,-5 সমাধান: f(1)=-1 ও f'(1)=0 — দুটি সমীকরণ সমাধান করে a=5,b=-10।
৮৮. f(x)=x⁴+1/x⁴ এর সর্বনিম্নমান x>0 এর জন্য— a) 16 b) 2 c) 4 d) 8 সমাধান: AM-GM অসমতা প্রয়োগে x⁴+1/x⁴≥2, সমতা x=1-এ।
৮৯. f(x)=xᵖ(1-x)ᵠ, 0<x<1,p,q>0, এর সর্বোচ্চমান হয় যখন— a) x=p/(p+q) b) x=q/(p+q) c) x=√(p/q) d) x=√(q/p) সমাধান: f'(x)=0 সমাধান করে x=p/(p+q) পাওয়া যায় (একমাত্র সংকট বিন্দু, যা সর্বোচ্চমান দেয়)।
৯০. R ব্যাসার্ধের অর্ধবৃত্তাকার ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ আয়তনের একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু সম্পূর্ণরূপে অন্তর্ভুক্ত করা হলে, শঙ্কুর উচ্চতা ও ভূমির ব্যাসার্ধের অনুপাত— সমাধান: শঙ্কুর h²+r²=R² শর্তে V=(π/3)r²h সর্বোচ্চ করতে h²=R²/3, r²=2R²/3 পাওয়া যায় — অনুপাত h:r = 1:√2। ⚠️ বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া ভালো — গণনায় প্রাপ্ত অনুপাত (1:√2, অর্থাৎ বর্গে 1:2) প্রদত্ত সরল-সংখ্যার বিকল্পের (1:1, 2:1, 1:2, 3:2) কোনোটির সাথে হুবহু মেলে না; সম্ভবত বিকল্পগুলো h²:r² আকারে দেওয়া থাকতে পারে, যা ক্ষেত্রে (c) 1:2-এর সাথে মিলবে।
Class 12 Semester 3 Math: পরীক্ষার জন্য জরুরি টিপস
📩Download Math Model Question 3rd Sem📩
- সন্ততা/অন্তরকলনযোগ্যতা যাচাইয়ে সবসময় বাম ও ডান সীমা/অন্তরকলন আলাদাভাবে গণনা করো — বিশেষত piecewise অপেক্ষকে এটি সবচেয়ে বেশি ভুল হওয়ার জায়গা।
- দ্বিতীয় অন্তরকলনের অভেদ (identity) প্রমাণের প্রশ্নে প্রথমে y1 বের করে সরল করো, তারপর আবার অন্তরকলন করে y2 বের করলে হিসাব অনেক সহজ হয়ে যায়।
- চরমমান (maxima-minima) সমস্যায় সবসময় ডোমেনের সীমানা (boundary) পরীক্ষা করতে ভুলো না — সংকট বিন্দু (critical point) ডোমেনের বাইরে পড়লে চরমমান প্রান্তবিন্দুতেই হয়।
দ্বাদশ শ্রেণি গণিত MCQ, Class 12 Semester 3 Math
কলনবিদ্যা অধ্যায়ের এই ৯০টি MCQ প্রশ্ন উত্তর সম্পূর্ণভাবে অনুশীলন করলে HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত পরীক্ষায় সন্ততা, অন্তরকলনযোগ্যতা, অন্তরকলন কৌশল এবং তার প্রয়োগ সংক্রান্ত যেকোনো প্রশ্নের জন্য একজন শিক্ষার্থী দৃঢ়ভাবে প্রস্তুত থাকতে পারবে। এই অধ্যায় সবচেয়ে বড় হলেও, মূল ধারণাগুলো (সীমা, অন্তরকলনের সংজ্ঞা, চেইন রুল) আয়ত্ত করলে বাকি সবকিছু স্বাভাবিকভাবেই সহজ হয়ে যায়।
এখানে আমরা আলোচনা করেছি কলনবিদ্যা (Calculus) MCQ প্রশ্ন উত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (সন্ততা, অন্তরকলন, প্রয়োগ), WBCHSE দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের “কলনবিদ্যা” অধ্যায়ের ৯০টি MCQ প্রশ্নের সম্পূর্ণ সমাধানসহ উত্তর — সন্ততা, অন্তরকলনযোগ্যতা, অন্তরকলন কৌশল ও প্রয়োগ।
কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর, কলনবিদ্যা, Calculus, HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত, WBCHSE গণিত সাজেশন, দ্বাদশ শ্রেণি গণিত MCQ, Class 12 Semester 3 Math, Continuity Differentiability সব কিছুই রয়েছে এই পোস্টে।
- কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর (Calculus) MCQ — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (সন্ততা, অন্তরকলন, প্রয়োগ)
WBCHSE দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর অধ্যায়ের ৯০টি MCQ প্রশ্নের সম্পূর্ণ সমাধানসহ উত্তর — সন্ততা, অন্তরকলনযোগ্যতা, অন্তরকলন কৌশল ও প্রয়োগ কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর (Calculus) সম্পূর্ণ MCQ — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত উচ্চ মাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণির তৃতীয় সেমিস্টার গণিত পরীক্ষায় কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর (Calculus) সবচেয়ে বড় ও গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায় — সন্ততা (continuity), অন্তরকলনযোগ্যতা … - ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর (Matrices and Determinants) MCQ প্রশ্ন— HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত
WBCHSE দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর, এই অধ্যায়ের ৬৮টি MCQ প্রশ্নের সম্পূর্ণ সমাধানসহ উত্তর। ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর (Matrices and Determinants) সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্ন উত্তর উচ্চ মাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণির তৃতীয় সেমিস্টার গণিত পরীক্ষায় ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক (Matrices and Determinants) অধ্যায় থেকে ম্যাট্রিক্সের ধর্ম, নির্ণায়কের বৈশিষ্ট্য, প্রতিসম/বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স এবং রৈখিক … - বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ ও অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্নোত্তর, ব্যাখ্যাসহ। WBCHSE সিলেবাস অনুযায়ী প্র্যাকটিসের জন্য আদর্শ। বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ (Inverse Trigonometric Functions) প্রশ্নোত্তর — উচ্চমাধ্যমিক তৃতীয় সেমিস্টার গণিত উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের দ্বিতীয় ইউনিট বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক (Inverse Trigonometric Functions) — এখানে সবচেয়ে বেশি ভুল হয় যোগ-বিয়োগের সূত্রে … - সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ ও অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্নোত্তর, ব্যাখ্যাসহ। WBCHSE সিলেবাস অনুযায়ী প্র্যাকটিসের জন্য আদর্শ। সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ (Relations and Functions) প্রশ্নোত্তর — উচ্চমাধ্যমিক তৃতীয় সেমিস্টার গণিত উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের সিলেবাসে সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ (Relations and Functions) অধ্যায়টা প্রথম ইউনিট হলেও এখানেই সবচেয়ে বেশি ছাত্রছাত্রী … - তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ – HS 3rd Semester Physics MCQ প্রশ্নোত্তর
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার “তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ” অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তরসহ। লেঞ্জের সূত্র, আবেশাঙ্ক, ট্রান্সফরমার, AC বর্তনী সংক্রান্ত সব প্রশ্ন এখানে। তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ: HS 3rd Semester Physics প্রশ্নোত্তর তৃতীয় সেমিস্টারের পঞ্চম ও শেষ মূল ইউনিট তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ — এখানে লেঞ্জের সূত্র, স্ব-আবেশ, পারস্পরিক … - তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ ও যোগাযোগ ব্যবস্থা – HS 3rd Semester Physics MCQ প্রশ্নোত্তর
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার “তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ ও যোগাযোগ ব্যবস্থা” সংক্রান্ত মডেল প্রশ্নপত্রের প্রশ্ন উত্তরসহ তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ ও যোগাযোগ ব্যবস্থা: HS 3rd Semester Physics প্রশ্নোত্তর তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার সিলেবাসে তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ ও যোগাযোগ ব্যবস্থা টপিকটা মূল ৫টা ইউনিটের মতো আলাদা কোনো পূর্ণাঙ্গ Model Question Paper হিসেবে আসেনি — বরং সাধারণ মিশ্র মক টেস্ট (Set-I …