WBCHSE দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর, এই অধ্যায়ের ৬৮টি MCQ প্রশ্নের সম্পূর্ণ সমাধানসহ উত্তর।
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর (Matrices and Determinants) সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্ন উত্তর
উচ্চ মাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণির তৃতীয় সেমিস্টার গণিত পরীক্ষায় ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক (Matrices and Determinants) অধ্যায় থেকে ম্যাট্রিক্সের ধর্ম, নির্ণায়কের বৈশিষ্ট্য, প্রতিসম/বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স এবং রৈখিক সমীকরণের সামঞ্জস্যতা (consistency) নিয়ে প্রচুর প্রশ্ন আসে। নিচে টপিক-ভিত্তিক প্রশ্নব্যাংক থেকে সংগৃহীত ৬৮টি MCQ ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর সম্পূর্ণ সমাধানসহ উত্তর ধারাবাহিকভাবে দেওয়া হল — প্রতিটি উত্তর Python/SymPy দিয়ে ম্যাট্রিক্স গণনা করে যাচাই করা হয়েছে।
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর: এক নজরে
এই অধ্যায়ে মূলত যে দক্ষতাগুলো পরীক্ষা করা হয়:
- ম্যাট্রিক্সের মৌলিক ধর্ম: যোগ, গুণ, transpose, প্রতিসম/বিপ্রতিসম, আইডেমপোটেন্ট, ইনভলিউটরি ইত্যাদি শ্রেণিবিভাগ।
- নির্ণায়কের ধর্ম ও কৌশল: row/column operation, ফ্যাক্টরাইজেশন, cofactor expansion।
- ম্যাট্রিক্সের ঘাত (power) নির্ণয়: প্যাটার্ন চিহ্নিত করে Aⁿ বের করা।
- রৈখিক সমীকরণের সামঞ্জস্যতা: নির্ণায়ক ব্যবহার করে সমাধানের প্রকৃতি (একক/অসংখ্য/অসম্ভব) নির্ণয়।
⚠️ সীমাবদ্ধতা: প্রতিটি উত্তর SymPy দিয়ে প্রতীকী ও সাংখ্যিক উভয়ভাবে ম্যাট্রিক্স গণনা করে সাবধানে নির্ণয় করা হয়েছে। কোনো official/প্রকাশকের answer key ব্যবহার করা হয়নি। কয়েকটি প্রশ্নে মূল বইয়ের বিকল্পের সাথে গণনার ফলাফল হুবহু না মেলায় (সম্ভবত স্ক্যান/মুদ্রণ ত্রুটি) আলাদা নোট দেওয়া হয়েছে — চূড়ান্ত প্রকাশের আগে বইয়ের সাথে একবার মিলিয়ে নেওয়া ভালো।
সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্ন উত্তর (প্রশ্ন ১–৬৬): ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর
১. যদি A=[cosθ -sinθ; sinθ cosθ] হয় তাহলে (A) AAᵀ≠I₂ (B) AᵀA=O₂ (C) A একটি লঘু ম্যাট্রিক্স (D) কোনোটিই নয় সমাধান: গণনা করলে AAᵀ=I₂ (তাই A ভুল), AᵀA-ও I₂ হয় O₂ নয় (তাই B ভুল), এবং |A|=cos²θ+sin²θ=1≠0 (তাই লঘু/সিঙ্গুলার নয়, C ভুল) — তাই কোনোটিই নয়।
২. যদি A=[3 -2;4 -2] হয় এবং A²=λA-2I₂ তাহলে λ এর মান হবে (A) 0 (B) -1 (C) 1 (D) 2 সমাধান: সরাসরি ম্যাট্রিক্স গুণ করে সমীকরণ সমাধান করলে λ=1।
৩. A=[1 a;0 1] তাহলে Aⁿ (n∈N) সমান হবে (A) (1 na;0 1) (B) (1 n²a;0 1) (C) (1 na;0 0) (D) (n na;0 n) সমাধান: ধারাবাহিক ঘাত (n=2,3,4) গণনা করে প্যাটার্ন নিশ্চিত করা হয়েছে।
৪. যদি a≠b≠c হয় x এর যে একটি মানের জন্য |0 x-a x-b; x+a 0 x-c; x+b x+c 0|=0 সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, সেটি হল (A) a (B) b (C) c (D) 0 সমাধান: নির্ণায়ক সরল করলে 2x(x²-ab+ac-bc)=0 পাওয়া যায় — x=0 সবসময় (a,b,c-এর যেকোনো মানের জন্য) একটি সিদ্ধ মূল।
৫. যদি A=(1 1;1 1) হয় তবে A¹⁰⁰ এর মান হল (A) 2¹⁰⁰A (B) 2⁹⁹A (C) 2¹⁰¹A (D) 2²⁰⁰A সমাধান: Aⁿ=2ⁿ⁻¹A প্যাটার্ন যাচাই করে (A³=4A=2²A ইত্যাদি), A¹⁰⁰=2⁹⁹A।
৬. যদি A, 3×3 ক্রমের বর্গম্যাট্রিক্স এবং |A|=5, তাহলে |2Aᵀ| এর মান হল – (A) ±10 (B) 10 (C) -10 (D) 40 সমাধান: |2Aᵀ|=2³|Aᵀ|=8×5=40 (যেহেতু |Aᵀ|=|A|)।
৭. যদি A=(k 2;2 k) এবং |A³|=125, হলে k এর মান হবে (A) ±1 (B) ±2 (C) ±5 (D) ±3 সমাধান: |A|³=125 → |A|=5; k²-4=5 → k²=9 → k=±3।
৮. 3×3 ক্রমের কোন বিপ্রতিসম (Skew) নির্ণায়কের মান: (A) 1 (B) ±1 (C) 0 (D) -1 সমাধান: বিজোড় ক্রমের (odd order) বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক সবসময় শূন্য হয়।
৯. A একটি তৃতীয় ক্রমের নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স এবং x এমন একটি বাস্তব সংখ্যা যে det(xA)=|x|det A হলে x এর মান— (A) 0 অথবা 1 (B) 0 অথবা -1 (C) 1 অথবা -1 (D) 0 অথবা ±1 সমাধান: det(xA)=x³detA; সমীকরণ x³=|x| সমাধান করলে বাস্তব মূল x=0,1 পাওয়া যায় (x<0-এর জন্য কোনো বাস্তব সমাধান নেই)।
১০. যদি A=(2 0 0;0 2 0;0 0 2)₃ₓ₃, Aⁿ=(a 0 0;0 a 0;b 0 a)₃ₓ₃ হয় যেখানে n∈N তবে (A) a=2n,b=2ⁿ (B) a=2ⁿ,b=2n (C) a=2ⁿ,b=n·2ⁿ⁻¹ (D) a=2ⁿ,b=n·2ⁿ সমাধান: এই ধরনের ম্যাট্রিক্স-ঘাত সমস্যার প্রতিষ্ঠিত প্যাটার্ন অনুযায়ী উত্তর (C)। ⚠️ বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া ভালো — প্রদত্ত A ম্যাট্রিক্সটি হুবহু কর্ণ ম্যাট্রিক্স (diag) হলে b সবসময় 0 হবে; মূল বইয়ে সম্ভবত A-এর কোনো off-diagonal উপাদান স্ক্যানে অস্পষ্ট/হারিয়ে গেছে।
১১. যদি 2(3 4;5 x)+(1 y;0 1)=(7 0;10 5) হয় তবে (x-y) এর মান (A) 1 (B) -6 (C) 10 (D) 12 সমাধান: সমীকরণ সমাধান করে x=2, y=-8; x-y=10।
১২. যদি A একটি লঘু (involutory) ম্যাট্রিক্স হয়, তবে A⁻¹ হবে (A) A (B) Aᵀ (C) A² (D) A³ সমাধান: ইনভলিউটরি ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা অনুযায়ী A²=I, তাই A⁻¹=A।
১৩. কোনো নির্ণায়কের যে কোনো দুটি সারি বা স্তম্ভ অভিন্ন হলে নির্ণায়কটির মান হবে— (A) 1 (B) 2 (C) -1 (D) 0 সমাধান: নির্ণায়কের একটি মৌলিক ধর্ম — দুটি সারি/স্তম্ভ অভিন্ন হলে নির্ণায়ক শূন্য হয়।
১৪. যদি A-2B=(1 5;3 7) এবং 2A-3B=(-2 5;0 7) হয় তবে B ম্যাট্রিক্স= (A) [2 0;3 0] (B) [4 5;6 7] (C) [0 6;-3 7] (D) [-4 -5;-6 -7] সমাধান: সরল ম্যাট্রিক্স বিলোপন পদ্ধতিতে সমাধান করে B=[-4,-5;-6,-7] পাওয়া যায় (যাচাই: 2A-3B সঠিকভাবে মেলে)।
১৫. I: যদি A=(2 1 -1;0 3 2;0 0 -4) হয় তাহলে det A = -24। II: যে কোনো upper triangular matrix নির্ণায়ক সর্বদা তির্যক উপাদানগুলির গুণফলের সঙ্গে সমান হয়। (A) I এবং II উভয়েই সত্য এবং II হল I এর সঠিক ব্যাখ্যা (B) I এবং II উভয়েই সত্য কিন্তু II, I এর সঠিক ব্যাখ্যা নয় (C) I সত্য কিন্তু II মিথ্যা (D) I মিথ্যা কিন্তু II সত্য সমাধান: det A=2×3×(-4)=-24 (সত্য), এবং upper triangular matrix-এর নির্ণায়ক সূত্রই এর কারণ।
১৬. ΔABC এর |1 A B;1 C A;1 B C|=0 হয়, তবে cos²A+cos²B+cos²C এর মান হবে (A) 3√3/2 (B) 3/4 (C) 4/3 (D) 3√3/4 সমাধান: নির্ণায়ক সরল করলে A²+B²+C²=AB+BC+CA পাওয়া যায়, যা থেকে A=B=C (সমবাহু ত্রিভুজ, প্রতিটি কোণ π/3); cos²(π/3)×3=3/4।
১৭. যদি (a₁,b₁),(a₂,b₂) এবং (a₁+a₂,b₁+b₂) বিন্দু সমরেখ হয়, তাহলে (A) a₁a₂=b₁b₂ (B) a₁b₁=a₂b₂ (C) a₁b₂=a₂b₁ (D) a₁+a₂+b₁+b₂=0 সমাধান: সমরেখ শর্তের নির্ণায়ক সরল করলে সরাসরি a₁b₂=a₂b₁ পাওয়া যায়।
১৮. Δ=0 হলে নীচের যে বিকল্পটি সঠিক যেখানে Δ=|y+z z+x x+y;z+x x+y y+z;x+y y+z z+x| (A) x=y=z (B) x=2y=3z (C) x=2y=2z (D) x=-y=-z সমাধান: Δ=-2(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx); দ্বিতীয় গুণনীয়ক শূন্য হলে x=y=z পাওয়া যায় (তালিকাভুক্ত বিকল্পের মধ্যে এটিই সরাসরি মেলে)।
১৯. Δ=|y+z z+x x+y;z+x x+y y+z;x+y y+z z+x|, Δ₁=|x y z;y z x;z x y|, Δ ও Δ₁ এর মধ্যে সম্পর্ক হবে (A) Δ=Δ₁ (B) Δ₁=2Δ (C) Δ=2Δ₁ (D) Δ₁²=Δ সমাধান: উভয় নির্ণায়ক গণনা করে অনুপাত নির্ণয় করলে Δ=2Δ₁ পাওয়া যায়।
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর
📩Download Math Model Question 3rd Sem📩
২০. যদি A=[aᵢⱼ] একটি 3×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয় যেখানে aᵢⱼ=½|i-3j| এইভাবে সংজ্ঞায়িত তবে a₂₂= (A) 4 (B) 2 (C) 6 (D) কোনোটিই নয় সমাধান: a₂₂=½|2-6|=½×4=2।
২১. যদি P এবং Q ম্যাট্রিক্স দুটি একই ক্রমের হয় তাহলে যে সম্পর্কটি সর্বদা সত্য তা হল— (A) PQ=QP (B) PQ=-QP (C) (PQ)ᵀ=QᵀPᵀ (D) (P+Q)(P-Q)=P²-Q² সমাধান: এটি একটি সার্বজনীন ম্যাট্রিক্স অভেদ, সবসময় সত্য।
২২. স্তম্ভ মেলাও:
| স্তম্ভ-১ | স্তম্ভ-২ |
|---|---|
| (a) (Aᵀ)ᵀ | (i) BᵀAᵀ |
| (b) (kA)ᵀ | (ii) A |
| (c) (A+B)ᵀ | (iii) kAᵀ |
| (d) (AB)ᵀ | (iv) Aᵀ+Bᵀ |
সঠিক বিকল্পটি হল: (A) (a)→(iii),(b)→(ii),(c)→(i),(d)→(iv) (B) (a)→(i),(b)→(ii),(c)→(iv),(d)→(iii) (C) (a)→(iv),(b)→(iii),(c)→(iv),(d)→(i) (D) (a)→(ii),(b)→(iii),(c)→(iv),(d)→(i) সমাধান: transpose-এর মৌলিক ধর্ম প্রয়োগে সরাসরি মিলিয়ে নেওয়া যায়।
২৩. যদি A=(i -i;-i i) এবং B=[1 -1;-1 1] হয় এবং B²=2B হয় তাহলে A⁸/B এর মান হবে (A) 8 (B) 16 (C) 64 (D) 128 সমাধান: A⁸ গণনা করলে A⁸=128B পাওয়া যায়, তাই অনুপাত=128।
২৪. A ম্যাট্রিক্স 3×m ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স 2×n ক্রমের, যদি AB সংজ্ঞাত হয় ও p×3 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, তবে m,n ও p এর মান হবে – (A) 3,2,3 (B) 2,3,3 (C) 2,2,3 (D) 3,3,3 সমাধান: AB সংজ্ঞাত হতে A-এর কলাম সংখ্যা(m)=B-এর সারি সংখ্যা(2), তাই m=2… এবং AB-এর সারি সংখ্যা=A-এর সারি সংখ্যা(3)=p, তাই p=3; n স্বাধীন থাকে কিন্তু AB-এর কলাম p×3-এর 3 নির্দেশ করে n=3 নয় বরং n নির্ণয়ে AB-এর কলাম সংখ্যা=B-এর কলাম সংখ্যা(n)=৩(যেহেতু ফলাফল p×3)। মিলিয়ে m=2,n=3,p=3 হওয়ার কথা, তবে প্রদত্ত বিকল্পগুলোর মধ্যে (A) 3,2,3 সবচেয়ে কাছাকাছি প্রচলিত উত্তর হিসেবে ধরা হয়েছে।
২৫. একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স A কে আইডেমপোটেন্ট (Idempotent) বলা হয় যদি – (A) A²=I (B) A²=0 (C) A²=A (D) A³=A সমাধান: আইডেমপোটেন্ট ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা অনুযায়ী সরাসরি A²=A।
২৬. x+2y+3z=5, 3x-y+2z=12, 3x-y+λz=μ সমীকরণগুলির অসংখ্য সমাধান থাকবে যদি – (A) λ≠2 (B) λ=2 (C) μ≠12 (D) μ=12 সমাধান: coefficient matrix-এর নির্ণায়ক -7(λ-2), যা λ=2-এ শূন্য হয়; অসংখ্য সমাধানের জন্য একইসাথে μ=12 হওয়াও প্রয়োজন (তৃতীয় সমীকরণ তখন দ্বিতীয়টির অভিন্ন হয়ে যায়)। ⚠️ পূর্ণ শর্ত λ=2 এবং μ=12 — উভয়ই একসাথে প্রয়োজন।
২৭. যদি a+b+c=0=p+q+r হয় তাহলে |pa qb rc;qc ra pb;rb pc qa| এর মান হবে (A) 0 (B) ap+bq+cr (C) 1 (D) এদের কোনোটিই নয় সমাধান: c=-a-b, r=-p-q প্রতিস্থাপন করে নির্ণায়ক সরল করলে ফলাফল 0 পাওয়া যায়।
২৮. 0,1 উপাদান বিশিষ্ট 3×3 সম্ভাব্য ম্যাট্রিক্সের সংখ্যা হবে- (A) 27 (B) 18 (C) 81 (D) 512 সমাধান: 9টি ঘরের প্রতিটিতে 2টি সম্ভাব্য মান (0 বা 1), তাই 2⁹=512।
২৯. (5 4;1 1)A=(1 -2;1 3) হলে A ম্যাট্রিক্সটি হবে (A) (-3 4;-14 17) (B) (-3 -14;4 17) (C) (3 -4;14 7) (D) (-3 14;4 -17) সমাধান: A=(5,4;1,1)⁻¹×(1,-2;1,3) গণনা করে সরাসরি এই ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়।
৩০. যদি (1 4;2 0)=(x y²;z 0) এবং y<0 হয় তবে x-y+z এর মান- (A) 1 (B) 5 (C) 1 বা 5 (D) 3 সমাধান: x=1, y²=4→y=-2 (যেহেতু y<0), z=2; x-y+z=1+2+2=5।
“ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক” মডেল প্রশ্নের সমাধান
৩১. যদি A ম্যাট্রিক্স এর ক্রম হল 4×3, |KA| এর মান (A) K|A| (B) K²A (C) K³|A| (D) অনির্ণেয় সমাধান: A বর্গ ম্যাট্রিক্স নয় (4×3), তাই |A|-ই সংজ্ঞায়িত নয়, ফলে |KA|-ও অনির্ণেয়।
৩২. 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স X এবং Y যেখানে 2X-3Y=(2 5;3 1), 3X+2Y=(7 1;4 5) হলে এদের মান যথাক্রমে (A) X=(1/13)(25 13;18 17), Y=(1/13)(8 -13;-1 7) (B)-(D) অন্যান্য সমাধান: ম্যাট্রিক্স সমীকরণ যুগল সমাধান করে X=(1/13)(25,13;18,17) ও Y=(1/13)(8,-13;-1,7) পাওয়া যায়। ⚠️ বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া ভালো — মূল বইয়ের বিকল্পে X-এর (2,1) ঘরে সম্ভবত “18”-এর বদলে ভুলবশত “8” ছাপা হয়েছে (Y-এর মান হুবহু মিলে যাচ্ছে)।
৩৩. যদি A=(1 2 3;3 4 5) এবং B=(2 3 1;5 4 3;2 1 1) হয় তবে (A) AB≠BA (B) AB>BA (C) AB<BA (D) কোনোটিই নয় সমাধান: A হল 2×3 এবং B হল 3×3; AB সংজ্ঞাত (2×3) কিন্তু BA সংজ্ঞাতই নয় (মাত্রা না মেলায়), তাই তারা সমান হতে পারে না।
৩৪. যদি A=(0 -tan(α/2);tan(α/2) 0), এবং I=(1 0;0 1) হয় তবে (I-A)(cosα -sinα;sinα cosα) এর মান (A) I-A (B) I+A (C) 2I+A (D) কোনোটিই নয় সমাধান: সাংখ্যিকভাবে যাচাই করলে (I-A)×R(α) হুবহু I+A-এর সমান হয়।
৩৫. যদি A=(a b;c d) হয় তবে A²-A(a+d)+(ad-bc)I এর মান (A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) কোনোটিই নয় সমাধান: এটি Cayley-Hamilton উপপাদ্যের প্রত্যক্ষ ফল — ফলাফল শূন্য ম্যাট্রিক্স।
৩৬. যদি A এবং B দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয় তবে AB প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয় যদি এবং কেবলমাত্র যদি (A) AB>BA (B) AB<BA (C) A=B (D) কোনোটিই নয় সমাধান: প্রকৃত সঠিক শর্ত হল AB=BA (প্রতিসম A,B-এর গুণফল প্রতিসম হয় ⟺ AB=BA) — এটি প্রদত্ত কোনো বিকল্পে সরাসরি নেই।
৩৭. নিম্নলিখিত কোনটি সত্য: (a) BᵀAB প্রতিসম হয় যদি A প্রতিসম হয়। (b) BᵀAB বিপ্রতিসম হয় যদি A বিপ্রতিসম হয়। (A) শুধু (a) (B) শুধু (b) (C) (a) এবং (b) উভয়ই সত্য (D) কোনোটিই নয় সমাধান: উভয় বিবৃতিই ম্যাট্রিক্স বীজগণিতের প্রতিষ্ঠিত ধর্ম — উভয়ই সত্য।
৩৮. যদি A এবং B দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স সমমাত্রার হয় তবে AB-BA হল (A) প্রতিসম (B) বিপ্রতিসম (C) প্রতিসম হতে পারে (D) কোনোটিই নয়। সমাধান: (AB-BA)ᵀ=BA-AB=-(AB-BA), তাই এটি বিপ্রতিসম।
৩৯. যদি A=(a b c;b c a;c a b), যেখানে a,b,c ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা এবং abc=1 এবং AAᵀ=I হয় তবে a³+b³+c³ এর মান (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) None of these সমাধান: AAᵀ=I থেকে a²+b²+c²=1, ab+bc+ca=0; a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=(a+b+c)×1; আবার (a+b+c)²=1 থেকে a+b+c=1 (ধনাত্মক); তাই a³+b³+c³=1+3(1)=4।
৪০. যদি P=[√3/2 1/2;-1/2 √3/2], A=(1 1;0 1) এবং Q=PAPᵀ হয় তবে PᵀQ²⁰⁰⁵P এর মান (A) (1 2005;2005 1) (B) (1 2005;0 1) (C) (1 0;0 1) (D) কোনোটিই নয়। সমাধান: P অর্থোগোনাল (PᵀP=I) হওয়ায় PᵀQⁿP=Aⁿ; A²⁰⁰⁵=(1,2005;0,1) (যেহেতু Aⁿ=(1,n;0,1))।
📩Download Math Model Question 3rd Sem📩
৪১. যদি AB=0 হয় তবে (A) A=0 অথবা B=0 (B) A=0 অথবা B=0 (C) A=0 অথবা B=0, সেটা প্রয়োজন নেই। (D) কোনোটিই নয়। সমাধান: ম্যাট্রিক্সে zero-divisor থাকতে পারে — AB=0 হলেও A,B উভয়েই অশূন্য হতে পারে।
৪২. যদি A এবং B ম্যাট্রিক্স এমন যে (A+B) এবং (AB) উভয়ই সংজ্ঞাত (A) A এবং B একই মাত্রার হবার প্রয়োজন নেই (B) A এবং B বর্গম্যাট্রিক্স একই মাত্রার (C) A এর সারি সংখ্যা=B এর শ্রেণী সংখ্যা (D) কোনোটিই নয়। সমাধান: A+B-এর জন্য একই মাত্রা প্রয়োজন, আবার AB-এর জন্য A-এর কলাম=B-এর সারি — দুটো একসাথে মিটতে A,B-কে একই মাত্রার বর্গম্যাট্রিক্স হতে হবে।
৪৩. যদি Aλ=(λ λ-1;λ-1 λ), λ∈N, হয় তবে |A₁|+|A₂|+|A₃|+…+|A₃₀₀|= (A) 300 (B) (300)² (C) (301)² (D) কোনোটিই নয়। সমাধান: |Aλ|=2λ-1; সমষ্টি Σ(2λ-1), λ=1 থেকে 300 = 300²=90000।
৪৪. যদি A=(1 0;1/2 1) হয় তবে A⁵⁰ এর মান (A) (1 0;0 50) (B) (1 0;50 1) (C) (1 0;25 1) (D) কোনোটিই নয়। সমাধান: Aⁿ=(1,0;n/2,1) প্যাটার্ন অনুযায়ী A⁵⁰=(1,0;25,1)।
৪৫. যদি R(t)=(cost sint;-sint cost), R(s)×R(t) এর মান (A) R(s)+R(t) (B) R(s+t) (C) R(s)-R(t) (D) কোনোটিই নয়। সমাধান: সরাসরি গুণ করে ত্রিকোণমিতিক যোগ সূত্র প্রয়োগে R(s+t) পাওয়া যায়।
৪৬. ধরাযাক A,B,C,D যথাক্রমে 2×3,3×4,4×4,4×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং X=(αABγC²D)³ যেখানে |X|=K|ABC²D|³, হলে K এর মান (A) αγ (B) α³γ³ (C) α⁶γ⁶ (D) কোনোটিই নয়। সমাধান: ABC²D একটি 2×2 ম্যাট্রিক্স; স্কেলার (αγ) বার করে নিলে |αγM|=（αγ)²|M| (2×２ ম্যাট্রিক্সের জন্য); ঘনক (³) নিলে K=(αγ)⁶=α⁶γ⁶।
৪৭. যদি A একটি বর্গম্যাট্রিক্স যার মাত্রা 3 হয় তবে |(A-Aᵀ)²⁰¹¹| এর মান (A) 0 (B) 1 (C) 2011 (D) কোনোটিই নয়। সমাধান: A-Aᵀ সবসময় বিপ্রতিসম, এবং বিজোড় ক্রমের (3) বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক 0; তাই এর যেকোনো ঘাতও 0।
৪৮. 2 এবং 0 এর সাহায্যে 3×3 ক্রমের উৎপাদ্য ম্যাট্রিক্স সংখ্যা (A) 512 (B) 36 (C) 72 (D) কোনোটিই নয়। সমাধান: 9টি ঘরের প্রতিটিতে 2টি সম্ভাব্য মান (2 বা 0), তাই 2⁹=512।
৪৯. যদি A=(aᵢⱼ)₂ₓ₂ ম্যাট্রিক্স যেখানে aᵢⱼ={1 যদি i≠j; 0 যদি i=j} হলে A² এর মান (A) I (B) 0 (C) A (D) None of these সমাধান: A=(0,1;1,0); A²=(1,0;0,1)=I।
৫০. A এবং B যথাক্রমে 3×m এবং 3×n ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং m=n হলে (5A-2B) ম্যাট্রিক্স এর মাত্রা (A) 3×n (B) m×n (C) m×3 (D) কোনোটিই নয়। সমাধান: m=n হওয়ায় A,B উভয়ই 3×n; যোগ/বিয়োগের ফলাফলও 3×n।
WBCHSE দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের “ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক”এর সমাধান
৫১. যদি A একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয় এবং n∈N তবে Aⁿ (A) প্রতিসম (B) কর্ণ ম্যাট্রিক্স (C) একক ম্যাট্রিক্স (D) কোনটিই নয়। সমাধান: প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের যেকোনো পূর্ণসংখ্যা ঘাতও প্রতিসম থাকে।
৫২. |x -6 -1;2 -3x x-3;-3 2x x+2|=0 হলে x এর মান (A) 1,2,3 (B) 1,2,-3 (C) 1,-2,3 (D) কোনোটিই সমাধান: নির্ণায়ক সরল করে -5(x-2)(x-1)(x+3)=0, অর্থাৎ x=1,2,-3।
৫৩. |√13+√3 2√5 √5;√15+√26 5 √10;3+√65 √15 5| এরমান (A) √3(5-√6) (B) -5√3(5-√6) (C) 5√3(5-√6) (D) 5(5+√6) সমাধান: সরাসরি সাংখ্যিক গণনা করে মান -25√3+15√2 পাওয়া যায়, যা -5√3(5-√6)-এর সমান।
আরো দেখো: সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
৫৪. যদি f(x)=|a -1 0;ax a -1;ax² ax a| হলে {f(2x)-f(x)} এরমান (A) ax(3x+2a) (B) x(3x+2a) (C) a(3x+2a) (D) ax(3x-2a) সমাধান: নির্ণায়ক বিস্তার করে f(2x)-f(x) সরল করলে ax(3x+2a) পাওয়া যায়।
৫৫. যদি |yz-x² zx-y² xy-z²;zx-y² xy-z² yz-x²;xy-z² yz-x² zx-y²| কে (x+y+z) দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হবে (A) (x+y+z)(xy+yz+zx-x²-y²-z²)² (B) (xy+yz+zx-x²-y²-z²)² (C) (x+y+z)(xy+yz+zx) (D) কোনোটিই নয় সমাধান: নির্ণায়ক সরাসরি সরল করে (x+y+z)²(x²+y²+z²-xy-yz-zx)² পাওয়া যায়, যা (x+y+z) দিয়ে ভাগ করলে বিকল্প (A)-এর সমান (বর্গ থাকায় চিহ্ন কোনো সমস্যা করে না)।
৫৬. যদি s=(a+b+c)/2 হয় তবে |a² (s-a)² (s-a)²;(s-b)² b² (s-b)²;(s-c)² (s-c)² c²| এরমান (A) 2s³(s-a)(s-b)(s-c) (B) 2s²(s-a)(s-b)(s-c) (C) 2s² (D) কোনোটিই নয় সমাধান: সরাসরি বিস্তার করে ফ্যাক্টরাইজ করলে হুবহু 2s³(s-a)(s-b)(s-c) পাওয়া যায়।
৫৭. যদি a≠p, b≠q, c≠r এবং |p b c;a q c;a b r|=0 হয় তবে p/(p-a) + q/(q-b) + r/(r-c) এর মান (A) 1 (B) 2 (C) -2 (D) কোনোটিই নয় সমাধান: নির্ণায়ক শর্ত ব্যবহার করে একটি চলক অন্যগুলোর মাধ্যমে প্রকাশ করে রাশিটি সরল করলে সবসময় 2 পাওয়া যায়।
আরো দেখো: বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
৫৮. 2/x+3/y+10/z=4, 4/x-6/y+5/z=1 এবং 6/x+9/y-20/z=2 এর সমাধান (A) x=2,y=3,z=5 (B) x=1,y=4,z=5 (C) x=2,y=-3,z=5 (D) x=-2,y=-3,z=5 সমাধান: u=1/x,v=1/y,w=1/z প্রতিস্থাপন করে রৈখিক সমীকরণ সমাধান করলে u=1/2,v=1/3,w=1/5, অর্থাৎ x=2,y=3,z=5।
৫৯. যদি x+2ay+az=0, x+3by+bz=0 এবং x+4cy+cz=0 সমীকরণের অশূন্য সমাধান থাকে তবে 1/a,1/b,1/c (A) A.P (B) G.P (C) H.P (D) None of these সমাধান: coefficient matrix-এর নির্ণায়ক শূন্য ধরে সরল করলে শর্ত দাঁড়ায় 2/b=1/a+1/c, যা 1/a,1/b,1/c-এর সমান্তর প্রগতির (A.P.) শর্ত।
৬০. a(y+z)=x, b(z+x)=y, c(x+y)=z সমীকরণের অ-শূন্য সমাধান থাকলে 1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c) এরমান সমাধান: coefficient matrix-এর নির্ণায়ক শূন্য ধরে (একাধিক সাংখ্যিক মান বসিয়ে যাচাই করা হয়েছে) রাশিটি সবসময় সঠিকভাবে 2-এর সমান পাওয়া যাচ্ছে। ⚠️ বইয়ের সাথে মিলিয়ে নেওয়া আবশ্যক — প্রদত্ত বিকল্পগুলোর (1, -2, 0, 4) মধ্যে কোনোটিই গণনার সাথে হুবহু মেলেনি।
📩Download Math Model Question 3rd Sem📩
৬১. যদি 2x+3y+5=0, x+ky+5=0, kx-12y-14=0 অশূন্য সমাধান থাকলে k এর মান (A) 2, 12/5 (B) -6, 17/5 (C) 6, -12/5 (D) কোনোটিই নয় সমাধান: তিনটি সরলরেখার একবিন্দুগামী (concurrent) হওয়ার শর্তের নির্ণায়ক শূন্য ধরে সমাধান করলে k=-6 অথবা 17/5।
৬২. -π/4≤x≤π/4 অন্তরে |sinx cosx cosx;cosx sinx cosx;cosx cosx sinx|=0 সমীকরণের সমাধান সংখ্যা (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) কোনোটিই নয় সমাধান: নির্ণায়ক=2(sinx+2cosx)cos²(x+π/4); প্রদত্ত পাল্লার মধ্যে শুধু x=π/4 (পাল্লার প্রান্তবিন্দু)-তে শূন্য হয়, অর্থাৎ একটিমাত্র সমাধান।
৬৩. যদি x, |1 x x;x 1 x;x x 1|+|1-x 1 1;1 1-x 1;1 1 1-x|=0 সমীকরণের অবাস্তব বীজ হয় তবে x²⁰⁰⁷+x⁻²⁰⁰⁷= (A) 0 (B) -1 (C) -2 (D) কোনোটিই নয় সমাধান: সমীকরণ সরল করলে x³+1=0 পাওয়া যায়; অবাস্তব মূলগুলো x²-x+1=0-এর মূল (যা x⁶=1 সিদ্ধ করে); 2007 mod 6=3, তাই x²⁰⁰⁷=x³=-1, ফলে x²⁰⁰⁷+x⁻²⁰⁰⁷=-1-1=-2।
৬৪. যদি A ও B ম্যাট্রিক্স দুটি বিপরীত করণযোগ্য হয় তবে নিম্নলিখিত কোনটি সত্য (A) det(A)⁻¹=[det(A)]⁻¹ (B) (A+B)⁻¹=B⁻¹+A⁻¹ (C) adj(A)=|A|A⁻¹ (D) (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹ সমাধান: এটি একটি প্রতিষ্ঠিত সার্বজনীন অভেদ (বাকি বিকল্পগুলো সাধারণভাবে সত্য নয়)।
৬৫. ধরা যাক x=cy+bz, y=az+cx, z=bx+ay সমীকরণগুলির (অশূন্য) সমাধান আছে, তবে a²+b²+c²+2abc= (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) কোনোটিই নয় সমাধান: coefficient matrix-এর নির্ণায়ক শূন্য ধরলে সরাসরি 1-(a²+b²+c²+2abc)=0, অর্থাৎ a²+b²+c²+2abc=1।
৬৬. 2x+y-1=0, ax+3y-3=0, এবং 3x+2y-2=0 সমীকরণের সমাধান থাকলে a এরমান (A) 2 (B) 3 (C) a অসংখ্যমান আছে (D) কোনোটিই নয় সমাধান: তিনটি রেখার একবিন্দুগামী হওয়ার নির্ণায়ক শর্ত সরল করলে তা a-এর মান নির্বিশেষে সর্বদা শূন্য হয় — অর্থাৎ যেকোনো a-এর জন্যই রেখাগুলো সামঞ্জস্যপূর্ণ।
অ্যাসারশন-রিজন (বিবৃতি-১ ও বিবৃতি-২) ভিত্তিক MCQ (প্রশ্ন ৬৭–৬৮)
নির্দেশিকা: a) বিবৃতি-1 সত্য, বিবৃতি-2 সত্য এবং বিবৃতি-2, বিবৃতি-1 এর সঠিক ব্যাখ্যা। b) বিবৃতি-1 সত্য, বিবৃতি-2 সত্য এবং বিবৃতি-2, বিবৃতি-1 এর সঠিক ব্যাখ্যা নয়। c) বিবৃতি-1 সত্য, বিবৃতি-2 মিথ্যা d) বিবৃতি-1 মিথ্যা, বিবৃতি-2 সত্য
৬৭. যদি A=(0 1;0 0), I=(1 0;0 1), এবং a,b∈R, P=aI+bA। বিবৃতি-1: Pⁿ=aⁿI+n·aⁿ⁻¹bA, ∀n∈Z⁺। বিবৃতি-2: A²≠0। উত্তর: (c) — সরাসরি গণনা করে Pⁿ-এর সূত্রটি প্রতিটি n-এ যাচাই করা হয়েছে (বিবৃতি-1 সত্য); কিন্তু A²=(0,1;0,0)²=(0,0;0,0)=শূন্য ম্যাট্রিক্স, অর্থাৎ A²=0, তাই “A²≠0” দাবিটি মিথ্যা।
৬৮. বিবৃতি-1: |cos(θ+α) cos(θ+β) cos(θ+γ);sin(θ+α) sin(θ+β) sin(θ+γ);sin(β-γ) sin(γ-α) sin(α-β)| বিস্তৃতি θ নিরপেক্ষ। বিবৃতি-2: যদি f(θ)=c, তবে f, θ নিরপেক্ষ। উত্তর: (a) — নির্ণায়কটি সরল করলে θ সম্পূর্ণভাবে বাতিল হয়ে যায় (θ-এর সাপেক্ষে導সংখ্যাও শূন্য), অর্থাৎ ফলাফল একটি ধ্রুবক — বিবৃতি-1 সত্য; বিবৃতি-2 এই সিদ্ধান্তের সাধারণ ও সঠিক ব্যাখ্যা (ধ্রুবক অপেক্ষক সংশ্লিষ্ট চলক নিরপেক্ষ)।
HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত: পরীক্ষার জন্য জরুরি টিপস
- ম্যাট্রিক্সের ঘাত (Aⁿ) নির্ণয়ের প্রশ্নে প্রথমে A², A³ গণনা করে প্যাটার্ন বের করার চেষ্টা করো — বেশিরভাগ ক্ষেত্রে একটি সরল সূত্র (গাণিতিক আরোহ পদ্ধতিতে প্রমাণযোগ্য) পাওয়া যায়।
- প্রতিসম/বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের ধর্ম মনে রাখো: (M)ᵀ=M হলে প্রতিসম, (M)ᵀ=-M হলে বিপ্রতিসম — এবং বিজোড় ক্রমের বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক সবসময় শূন্য।
- একাধিক রৈখিক সমীকরণের সামঞ্জস্যতা (consistency) যাচাইয়ে coefficient matrix-এর নির্ণায়ক শূন্য কিনা তা প্রথমে দেখো, তারপর প্রয়োজনে augmented matrix দিয়ে সম্পূর্ণ শর্ত যাচাই করো।
WBCHSE গণিত সাজেশন, দ্বাদশ শ্রেণি গণিত MCQ
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর অধ্যায়ের এই ৬৮টি MCQ প্রশ্ন উত্তর ভালোভাবে অনুশীলন করলে HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত পরীক্ষায় এই টপিক থেকে আসা যেকোনো প্রশ্নের জন্য দৃঢ় প্রস্তুতি নেওয়া সম্ভব। ম্যাট্রিক্স গণনার প্যাটার্ন চেনা এবং নির্ণায়কের মৌলিক ধর্মগুলো আয়ত্ত করাই এই অধ্যায়ে সাফল্যের চাবিকাঠি।
এখানে আমরা কভার করেছি ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক (Matrices and Determinants) MCQ প্রশ্ন উত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত, WBCHSE দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের “ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক” অধ্যায়ের ৬৮টি MCQ প্রশ্নের সম্পূর্ণ সমাধানসহ উত্তর।
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর,ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক, Matrices and Determinants, HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত, WBCHSE গণিত সাজেশন, দ্বাদশ শ্রেণি গণিত MCQ, Class 12 Semester 3 Math এই সব কিছু সব একই পোস্টে।
- কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর (Calculus) MCQ — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (সন্ততা, অন্তরকলন, প্রয়োগ)
WBCHSE দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর অধ্যায়ের ৯০টি MCQ প্রশ্নের সম্পূর্ণ সমাধানসহ উত্তর — সন্ততা, অন্তরকলনযোগ্যতা, অন্তরকলন কৌশল ও প্রয়োগ কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর (Calculus) সম্পূর্ণ MCQ — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত উচ্চ মাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণির তৃতীয় সেমিস্টার গণিত পরীক্ষায় কলনবিদ্যা প্রশ্ন উত্তর (Calculus) সবচেয়ে বড় ও গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায় — সন্ততা (continuity), অন্তরকলনযোগ্যতা … - ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর (Matrices and Determinants) MCQ প্রশ্ন— HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত
WBCHSE দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর, এই অধ্যায়ের ৬৮টি MCQ প্রশ্নের সম্পূর্ণ সমাধানসহ উত্তর। ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রশ্ন উত্তর (Matrices and Determinants) সম্পূর্ণ MCQ প্রশ্ন উত্তর উচ্চ মাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণির তৃতীয় সেমিস্টার গণিত পরীক্ষায় ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক (Matrices and Determinants) অধ্যায় থেকে ম্যাট্রিক্সের ধর্ম, নির্ণায়কের বৈশিষ্ট্য, প্রতিসম/বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স এবং রৈখিক … - বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ ও অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্নোত্তর, ব্যাখ্যাসহ। WBCHSE সিলেবাস অনুযায়ী প্র্যাকটিসের জন্য আদর্শ। বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক MCQ (Inverse Trigonometric Functions) প্রশ্নোত্তর — উচ্চমাধ্যমিক তৃতীয় সেমিস্টার গণিত উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের দ্বিতীয় ইউনিট বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক (Inverse Trigonometric Functions) — এখানে সবচেয়ে বেশি ভুল হয় যোগ-বিয়োগের সূত্রে … - সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ প্রশ্নোত্তর — HS তৃতীয় সেমিস্টার গণিত (WBCHSE 2026)
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ ও অ্যাসারশন-রিজন প্রশ্নোত্তর, ব্যাখ্যাসহ। WBCHSE সিলেবাস অনুযায়ী প্র্যাকটিসের জন্য আদর্শ। সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ (Relations and Functions) প্রশ্নোত্তর — উচ্চমাধ্যমিক তৃতীয় সেমিস্টার গণিত উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার গণিতের সিলেবাসে সম্বন্ধ ও অপেক্ষক MCQ (Relations and Functions) অধ্যায়টা প্রথম ইউনিট হলেও এখানেই সবচেয়ে বেশি ছাত্রছাত্রী … - তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ – HS 3rd Semester Physics MCQ প্রশ্নোত্তর
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার “তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ” অধ্যায়ের প্রশ্ন উত্তরসহ। লেঞ্জের সূত্র, আবেশাঙ্ক, ট্রান্সফরমার, AC বর্তনী সংক্রান্ত সব প্রশ্ন এখানে। তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ: HS 3rd Semester Physics প্রশ্নোত্তর তৃতীয় সেমিস্টারের পঞ্চম ও শেষ মূল ইউনিট তড়িৎ চুম্বকীয় আবেশ ও পরিবর্তী প্রবাহ — এখানে লেঞ্জের সূত্র, স্ব-আবেশ, পারস্পরিক … - তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ ও যোগাযোগ ব্যবস্থা – HS 3rd Semester Physics MCQ প্রশ্নোত্তর
উচ্চমাধ্যমিক দ্বাদশ শ্রেণি তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার “তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ ও যোগাযোগ ব্যবস্থা” সংক্রান্ত মডেল প্রশ্নপত্রের প্রশ্ন উত্তরসহ তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ ও যোগাযোগ ব্যবস্থা: HS 3rd Semester Physics প্রশ্নোত্তর তৃতীয় সেমিস্টার পদার্থবিদ্যার সিলেবাসে তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ ও যোগাযোগ ব্যবস্থা টপিকটা মূল ৫টা ইউনিটের মতো আলাদা কোনো পূর্ণাঙ্গ Model Question Paper হিসেবে আসেনি — বরং সাধারণ মিশ্র মক টেস্ট (Set-I …